Equacions lineals homogènies a coeficients constants d'ordre n

Igual que passa amb els sistemes lineals d'ordre $1$ , una EDO d'ordre $n$ té $n$ solucions linealment independents de manera que tota solució d'una EDO homogènia serà combinació lineal d'aquestes solucions. Per tant, resoldre l'EDO consistirà en trobar aquestes $n$ funcions.

Considerem l'EDO $a_{n} \cdot y^{(n)} (x) + a_{n - 1} \cdot y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} \cdot y^{'} + a_{0} \cdot y = 0$ on $a_{i}$ són constants.

Exemple

Un exemple d'EDO d'ordre $n$ homogènia és: $y^{″} + y = 0$

Llavors definim el polinomi característic de l'EDO com: $a_{n} \cdot λ^{n} + a_{n - 1} \cdot λ^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot λ + a_{0} = 0$ i busquem les seves $n$ arrels.

El polinomi característic és fàcil d'escriure, només cal canviar $y$ per $λ$ i elevar a l'ordre de derivació corresponent.

Exemple

Per exemple, en l'EDO que hem donat abans, el polinomi característic associat és: $λ^{2} + 1 = 0$ .

Aquest polinomi té dues arrels complexes conjugades: $λ_{1} = i, λ_{2} = - i$

Llavors

Si $λ$ és real i simple donarà lloc a la solució: $e^{λ x}$
Si $λ$ és real de multiplicitat $m$ donarà lloc a les $m$ solucions: $e^{λ x}, x \cdot e^{λ x}, x^{2} \cdot e^{λ x}, \dots, x^{m - 1} \cdot e^{λ x}$
Si $λ = a + b i$ és complex i simple, donarà lloc a dues solucions: $e^{a x} \cos (b x), e^{a x} \sin (b x)$ (n'hi ha dos perquè sempre que hi ha una arrel complexa la seva conjugada també apareix)
Si $λ = a + b i$ és complex de multiplicitat $m$ , donarà lloc a les $2 m$ solucions: $e^{a x} \cos (b x), x \cdot e^{a x} \cos (b x), \dots, x^{m - 1} e^{a x} \cos (b x) e^{a x} \sin (b x), x \cdot e^{a x} \sin (b x), \dots, x^{m - 1} e^{a x} \sin (b x)$

Llavors, trobades aquestes $n$ solucions, la solució general de l'EDO serà una combinació lineal d'aquestes $n$ solucions.

Exemple

Reprenguem l'exemple del principi. Com que el nostre polinomi tenia per arrels dos complexos conjugats (simples) estem en el cas $3$ . Per tant la solució és: $y (x) = c_{1} \cdot \cos x + c_{2} \cdot \sin x$ on les constants es determinaran amb les condicions inicials (en cas de tenir-les).