Igual que passa amb els sistemes lineals d'ordre $$1$$, una EDO d'ordre $$n$$ té $$n$$ solucions linealment independents de manera que tota solució d'una EDO homogènia serà combinació lineal d'aquestes solucions. Per tant, resoldre l'EDO consistirà en trobar aquestes $$n$$ funcions.
Considerem l'EDO $$$a_n \cdot y^{(n)} (x)+a_{n-1} \cdot y^{(n-1)}+ \ldots +a_1 \cdot y'+ a_0 \cdot y=0$$$ on $$a_i$$ són constants.
Un exemple d'EDO d'ordre $$n$$ homogènia és:$$$y''+y=0$$$
Llavors definim el polinomi característic de l'EDO com: $$$a_n\cdot \lambda^n+a_{n-1} \cdot \lambda^{n-1}+ \ldots + a_1 \cdot \lambda+a_0=0$$$ i busquem les seves $$n$$ arrels.
El polinomi característic és fàcil d'escriure, només cal canviar $$y$$ per $$\lambda$$ i elevar a l'ordre de derivació corresponent.
Per exemple, en l'EDO que hem donat abans, el polinomi característic associat és: $$\lambda ^2+1=0$$.
Aquest polinomi té dues arrels complexes conjugades: $$\lambda_1=i, \ \lambda_2=-i$$
Llavors
- Si $$\lambda$$ és real i simple donarà lloc a la solució: $$e^{\lambda x}$$
- Si $$\lambda$$ és real de multiplicitat $$m$$ donarà lloc a les $$m$$ solucions:$$e^{\lambda x}, x\cdot e^{\lambda x}, x^2\cdot e^{\lambda x}, \ldots, x^{m-1} \cdot e^{\lambda x}$$
- Si $$\lambda=a+bi$$ és complex i simple, donarà lloc a dues solucions: $$e^{ax}\cos (bx), e^{ax}\sin (bx)$$ (n'hi ha dos perquè sempre que hi ha una arrel complexa la seva conjugada també apareix)
- Si $$\lambda=a+bi$$ és complex de multiplicitat $$m$$, donarà lloc a les $$2m$$ solucions: $$$e^{ax}\cos (bx),x \cdot e^{ax}\cos (bx), \ldots, x^{m-1}e^{ax}\cos (bx) \\ e^{ax}\sin (bx), x\cdot e^{ax}\sin (bx), \ldots, x^{m-1} e^{ax}\sin (bx)$$$
Llavors, trobades aquestes $$n$$ solucions, la solució general de l'EDO serà una combinació lineal d'aquestes $$n$$ solucions.
Reprenguem l'exemple del principi. Com que el nostre polinomi tenia per arrels dos complexos conjugats (simples) estem en el cas $$3$$. Per tant la solució és: $$$y(x)=c_1 \cdot \cos x+ c_2 \cdot \sin x$$$ on les constants es determinaran amb les condicions inicials (en cas de tenir-les).