Exercicis de Equacions lineals homogènies a coeficients constants d'ordre n

Desenvolupament:

a) Es tracta d'una EDO lineal d'ordre n, homogènia a coeficients constants. Per tant, calculem el seu polinomi característic $$p(\lambda )=2{\lambda }^2-3\lambda +4$$ i calculem les seves arrels. $$\lambda ={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-4\cdot 2\cdot 4}}{4}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{-23}}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}i$$ Per tant tenim una arrel complexa i la seva conjugada. Per tant, les funcions solució són: $$y_1(x)=e^{\frac{3}{4}}\cos ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$$ $$y_2(x)=e^{\frac{3}{4}}\sin ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$$ Tota solució s'escriu: $$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$$

b) Aquest cas és el mateix que l'anterior. Per tant, calculem el polinomi característic: $$p(\lambda )=2{\lambda }^5-7{\lambda }^4+12{\lambda }^3+8{\lambda }^2={\lambda }^2(2{\lambda }^3-7{\lambda }^2+12\lambda +8)$$ Les seves arrels són:

• $\lambda =0$ amb multiplicitat 2. Per tant dóna lloc a les funcions $y_1(x)=e^{0x}=1$, $y_2(x)=x\cdot e^{0x}=x$.

• $\lambda =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ simple. Per tant dóna lloc a la funció: $y_3(x)=e^{-\frac{1}{2}x}$.

• $\lambda =2\pm 2i$ arrel simple amb la seva conjugada. Per tant donen lloc a les funcions: $y_4(x)=e^{2x}\cos (2x)$,$y_5(x)=e^{2x}\sin (2x)$.

D'aquesta manera tota solució és combinació lineal d'aquestes 5: $$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos (2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin (2x)$$

Solució:

a) $y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$

b) $y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos (2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin (2x)$

Amagar desenvolupament i solució