Resol les següents EDO's:
a) $$2y''-3y'+4y=0$$
b) $$2y^{(5)}-7y^{(4)}+12y'''+8y''=0$$
Desenvolupament:
a) Es tracta d'una EDO lineal d'ordre n, homogènia a coeficients constants. Per tant, calculem el seu polinomi característic $$$p(\lambda)=2\lambda^2-3\lambda+4$$$ i calculem les seves arrels. $$$\lambda=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4\cdot2\cdot4}}{4}=\dfrac{3\pm\sqrt{-23}}{4}=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{\sqrt{23}}{4}i$$$ Per tant tenim una arrel complexa i la seva conjugada. Per tant, les funcions solució són: $$$y_1(x)=e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$$ $$$y_2(x)=e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$$ Tota solució s'escriu: $$$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$$
b) Aquest cas és el mateix que l'anterior. Per tant, calculem el polinomi característic: $$$p(\lambda)=2\lambda^5-7\lambda^4+12\lambda^3+8\lambda^2=\lambda^2(2\lambda^3-7\lambda^2+12\lambda+8)$$$ Les seves arrels són:
-
$$\lambda=0$$ amb multiplicitat 2. Per tant dóna lloc a les funcions $$y_1(x)=e^{0x}=1$$, $$y_2(x)=x\cdot e^{0x}=x$$.
-
$$\lambda=-\dfrac{1}{2}$$ simple. Per tant dóna lloc a la funció: $$y_3(x)=e^{-\frac{1}{2}x}$$.
- $$\lambda=2\pm2i$$ arrel simple amb la seva conjugada. Per tant donen lloc a les funcions: $$y_4(x)=e^{2x}\cos(2x)$$,$$y_5(x)=e^{2x}\sin(2x)$$.
D'aquesta manera tota solució és combinació lineal d'aquestes 5: $$$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos(2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin(2x)$$$
Solució:
a) $$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin(\dfrac{\sqrt{23}}{4}x)$$
b) $$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos(2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin(2x)$$