Ejercicios de Ecuaciones lineales homogéneas a coeficientes constantes de orden n

Desarrollo:

a) Se trata de una EDO lineal de orden n, homogénea a coeficientes constantes. Por lo tanto, calculemos su polinomio característico $$p(\lambda )=2{\lambda }^2-3\lambda +4$$ y calculemos sus raíces. $$\lambda ={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-4\cdot 2\cdot 4}}{4}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{-23}}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}i$$ Por lo tanto tenemos una raíz compleja y su conjugada. Por lo tanto, las funciones solución son: $$y_1(x)=e^{\frac{3}{4}}\cos ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$$ $$y_2(x)=e^{\frac{3}{4}}\sin ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$$ Toda solución se escribe: $$y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$$

b) Este caso es el mismo que el anterior. Por lo tanto, calculemos el polinomio característico: $$p(\lambda )=2{\lambda }^5-7{\lambda }^4+12{\lambda }^3+8{\lambda }^2={\lambda }^2(2{\lambda }^3-7{\lambda }^2+12\lambda +8)$$ Sus raíces son:

• $\lambda =0$ con multiplicidad $2$. Por lo tanto da lugar a las funciones $y_1(x)=e^{0x}=1$, $y_2(x)=x\cdot e^{0x}=x$.

• $\lambda =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ simple. Por lo tanto da lugar a la función: $y_3(x)=e^{-\frac{1}{2}x}$.

• $\lambda =2\pm 2i$ raíz simple con su conjugada. Por lo tanto dan lugar a las funciones: $y_4(x)=e^{2x}\cos (2x)$,$y_5(x)=e^{2x}\sin (2x)$.

De esta forma toda solución es combinación lineal de estas 5: $$y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos (2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin (2x)$$

Solución:

a) $y(x)=C_1\cdot e^{\frac{3}{4}}\cos ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)+C_2\cdot e^{\frac{3}{4}}\sin ({\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{4}}x)$

b) $y(x)=C_1+C_2\cdot x+C_3\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+C_4\cdot e^{2x}\cos (2x)+C_5\cdot e^{2x}\sin (2x)$

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