Ecuaciones lineales homogéneas a coeficientes constantes de orden n

Al igual que pasa con los sistemas lineales de orden $1$ , una ODE de orden $n$ tiene $n$ soluciones linealmente independientes de manera que toda solución de una EDO homogénea será combinación lineal de estas soluciones. Por lo tanto, resolver la EDO consistirá en encontrar estas $n$ funciones.

Consideramos la EDO $a_{n} \cdot y^{(n)} (x) + a_{n - 1} \cdot y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} \cdot y^{'} + a_{0} \cdot y = 0$ donde $a_{i}$ son constantes.

Ejemplo

Un ejemplo de EDO de orden $n$ homogénea sería: $y^{″} + y = 0$

Entonces definimos el polinomio característico de la EDO como: $a_{n} \cdot λ^{n} + a_{n - 1} \cdot λ^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot λ + a_{0} = 0$ y buscamos sus $n$ raíces.

El polinomio característico es fácil de escribir, basta canviar $y$ por $λ$ y elevar al orden de derivación correspondiente.

Ejemplo

Por ejemplo, en la EDO que hemos dado antes, el polinomio característico asociado es: $λ^{2} + 1 = 0$ .

Este polinomio tiene dos raíces complejas conjugadas: $λ_{1} = i, λ_{2} = - i$

Entonces

Si $λ$ es real y simple dará lugar a la solución: $e^{λ x}$
Si $λ$ es real de multiplicidad $m$ dará lugar a las $m$ soluciones: $e^{λ x}, x \cdot e^{λ x}, x^{2} \cdot e^{λ x}, \dots, x^{m - 1} \cdot e^{λ x}$
Si $λ = a + b i$ es complejo y simple, dará lugar a dos soluciones: $e^{a x} \cos (b x), e^{a x} \sin (b x)$ (hay dos porque siempre que existe una raíz compleja su conjugada también aparece)
Si $λ = a + b i$ es complejo de multiplicidad $m$ , dará lugar a las $2 m$ soluciones: $e^{a x} \cos (b x), x \cdot e^{a x} \cos (b x), \dots, x^{m - 1} e^{a x} \cos (b x) e^{a x} \sin (b x), x \cdot e^{a x} \sin (b x), \dots, x^{m - 1} e^{a x} \sin (b x)$

Entonces, encontradas estas $n$ soluciones, la solución general de la EDO será una combinación lineal de estas $n$ soluciones.

Ejemplo

Retomemos el ejemplo del principio. Como nuestro polinomio tenía por raíces dos complejos conjudados (simples) estamos en el caso 3. Por lo tanto la solución es: $y (x) = c_{1} \cdot \cos x + c_{2} \cdot \sin x$ donde las constantes se determinarán con las condiciones iniciales (en caso de tenerlas).