Ecuaciones lineales a coeficientes constantes de orden n

Buscaremos soluciones de un sistema lineal a coeficientes constantes de orden $n$ no homogéneo. Aún así, tendremos que añadir una restricción en el método que presentaremos.

Si nuestra EDO es: $a_{n} \cdot y^{(n)} (x) + a_{n - 1} \cdot y^{(n - 1)} (x) + \dots + a_{1} \cdot y^{'} (x) + a_{0} \cdot y (x) = f (x)$ (lineal a coeficientes constantes) tenemos que pedir que la función $f (x)$ sea un polinomio, una exponencial, seno o coseno o cualquier combinación de éstas.

Es decir, ahora estaremos preparados para resolver por ejemplo: $y^{″} + y = 3 \cos x + e^{2} x$

Por el mismo motivo que en sistemas lineales, una solución general de esta ecuación es una suma de la solución general de la parte homogénea y una solución particular de la no homogénea.

Vamos a resolver la EDO por el método del polinomio anulador o de coeficientes indeterminados.

Supongamos que tenemos la EDO escrita anteriormente y $f (x)$ una función que cumpla las condiciones que hemos pedido. Entonces:

Resolvemos la parte homogénea. De forma que obtenemos $n$ soluciones linealmente independientes.

Ejemplo

En el ejemplo que hemos dado, la soluciones son: $y_{1} (x) = \cos x y_{2} (x) = \sin x$

Buscamos un polinomio que anule $f (x)$ . Esta operación consiste a encontrar un polinomio que sus coeficientes multipliquen las derivadas. Es decir: $Q (D) = b_{n} D^{n} + b_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + b_{1} D + b_{0} I d$ where $D^{k}$ significa derivar $k$ veces la función que lo multiplica. Así, $Q (D) f (x) = (b_{n} D^{n} + b_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + b_{1} D + b_{0} I d) f (x) = = b_{n} D^{n} f (x) + b_{n - 1} D^{n - 1} f (x) + \dots + b_{1} D f (x) + b_{0} I d \cdot f (x) = = b_{n} f^{n} (x) + b_{n - 1} f^{n - 1} (x) + \dots + b_{1} f^{'} (x) + b_{0} f (x) = 0$ Es decir, es como buscar qué EDO lineal y homogénea satisface $f (x)$ . Para hacerlo procedemos de forma inversa (de cuando encontramos soluciones en el caso homogéneo).

Ejemplo

En el ejemplo anterior, tenemos que encontrar un polinomio que anule $f (x) = 3 \cos x + e^{2 x}$ .

Procedamos de forma inversa que cuando encontramos soluciones, es decir: $\cos x$ proviene de $λ = i e^{2 x}$ que proviene de $λ = 2$ .

Por lo tanto el polinomio anulador es: $Q (D) = (D^{2} + I D) \cdot (D \cdot 2 I d)$ .

En efecto, $Q (D) f (x) = (D^{2} + I d) \cdot (D - 2 I d) f (x) = (D^{3} - 2 D^{2} + D - 2 I d) f (x) = = f^{‴} (x) - e f^{″} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = = 3 \sin x + 8 e^{2 x} + 6 \cos x - 8 e^{2 x} - 3 \sin x + 2 e^{2 x} - 6 \cos x - 2 e^{2 x} = 0$

Notemos que, introduciendo esta notación, nuestra EDO inicial se puede escribir como $P (D) y (x) = f (x)$ , con $P (D) = a_{n} D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{1} D + a_{0} I d$ Aplicando el polinomio $Q (D)$ a la anterior igualdad tenemos: $P (D) y (x) = f (x) ⟹ Q (D) P (D) y (x) = Q (D) f (x) = 0$ y por lo tanto tenemos una nueva ecuación, pero homogénea de orden $k$ (mayor que $n$ ). Entonces solucionamos este problema, obteniendo $k$ funciones, de las cuales las $n$ primeras son soluciones encontradas en (1). $y^{⋆} (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x) + D_{1} {\tilde{y}}_{n + 1} (x) + \dots + D_{k} {\tilde{y}}_{k} (x)$

Ejemplo

En el ejemplo anterior, pues, tenemos $Q (D) P (D) = (D^{2} + I d) (D^{2} + I d) (D - 2 I d)$ que tiene por raíces (y por lo tanto por soluciones asociadas): $λ = \pm i$ con multiplicidad $2$ que da por soluciones $\cos x, \sin x, x \cdot \cos x, x \cdot \sin x$ , $λ = 2$ que da por solución $e^{2 x}$ .

Por lo tanto tenemos que $y^{⋆} (x) = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x + D_{1} x \cdot \cos x + D_{2} x \cdot \sin x + D_{3} e^{2 x}$

Buscamos una solución particular de la ecuación no homogénea de la forma: $y_{p} (x) = D_{1} {\tilde{y}}_{n + 1} (x) + \dots + D_{k} {\tilde{y}}_{k} (x)$ es decir, cogemos las soluciones que han aparecido en (3), que no teníamos en (1) y buscamos ciertos coeficientes para obtener la solución.

Ejemplo

En nuestro ejemplo, debemos buscar una solución particular de la forma: $y_{p} (x) = D_{1} \cdot \cos x$ .

Impongamos que sea solución: $y_{p}^{″} + y_{p} = 3 \cos x + e^{2 x} y_{p}^{″} + y_{p} = - 2 D_{1} \sin x - D_{1} x \cos x + 2 D_{2} \cos x - D_{2} x \sin x + 4 D_{3} e^{2 x} + D_{1} x \cos x +$ $+ D_{2} x \sin x + D_{3} e^{2 x} = = - 2 D_{1} \sin x + 2 D_{2} \cos x + 5 D_{3} e^{2 x}$ Igualando coeficientes, obtenemos: $D_{1} = 0 D_{2} = \frac{3}{2} D_{3} = \frac{1}{5}$ Por lo tanto, la solución particular es: $y_{p} (x) = \frac{3}{2} x \cdot \sin x + \frac{1}{5} e^{2 x}$

Finalmente, tenemos que la solución general de nuestra EDO no homogénea inicial es: $y (x) = y_{h} (x) + y_{p} (x)$

Ejemplo

Para acabar con nuestro ejemplo, tenemos que la solución general es: $y (x) = c_{1} \cos x + c_{2} \sin x + \frac{3}{2} x \cdot \sin x + \frac{1}{5} e^{2 x}$