Transformación de EDO de orden n

Toda ecuación diferencial (de cualquier orden) se puede escribir en forma de sistema. Por lo tanto podremos resolver aquellas ecuaciones de orden $n$ que se escriban en forma de algún sistema que sepamos resolver, o sea, un sistema a coeficientes constantes.

Supongamos que tenemos una EDO de orden $n$ , $x^{n)} (t) + a_{n - 1} (t) \cdot x^{n - 1)} (t) + \dots + a_{1} (t) \cdot x^{'} (t) + a_{0} (t) \cdot x (t) = f (t)$

Definimos: $\begin{array}{rcl} y_{1} & = & x \\ y_{2} & = & x^{'} \\ y_{3} & = & x^{″} \\ \dots \\ y_{n} & = & x^{n - 1)} \end{array}$ Entonces $\begin{array}{l} y_{1}^{'} = x^{'} = y_{2} \\ y_{2}^{'} = x^{″} = y_{3} \\ \dots \\ y_{n}^{'} = x^{n)} = f (t) - a_{n - 1} (t) \cdot x^{n - 1)} (t) - \dots - a_{1} (t) \cdot x^{'} (t) - a_{0} (t) \cdot x (t) = \\ = f (t) - a_{n - 1} (t) \cdot y_{n} (t) - \dots - a_{1} (t) \cdot y_{2} (t) - a_{0} (t) \cdot y_{1} (t) \end{array}$ Obteniendo un sistema lineal de orden $1$ . Como ya hemos dicho si es a coeficientes constantes, lo sabremos resolver.

Dar la solución, consistirá en dar la función $y_{1} (t)$ , puesto que $x (t) = y_{1} (t)$ .

Ejemplo

Por ejemplo, consideremos la EDO de orden $5$ : $x^{5)} + 21 x^{3)} - 2 x^{″} - x = 2 \cos t$ Llamamos: $\begin{array}{rcl} y_{1} & = & x \\ y_{2} & = & x^{'} \\ y_{3} & = & x^{″} \\ y_{4} & = & x^{‴} \\ y_{5} & = & x^{4)} \end{array}$

Así obtenemos el sistema: $\begin{array}{l} y_{1}^{'} = y_{2} \\ y_{2}^{'} = y_{3} \\ y_{3}^{'} = y_{4} \\ y_{4}^{'} = y_{5} \\ y_{5}^{'} = - 21 y_{4} + 2 y_{3} + y_{1} + 2 \cos t \end{array}$

que podemos escribir en forma matricial como: $(\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ y_{3}^{'} \\ y_{4}^{'} \\ y_{5}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & - 21 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \cos t \end{matrix})$

Este método de obtención de un sistema lineal es totalmente general. Aún así, teniendo en cuenta que sólo sabemos resolver sistemas a coeficientes constantes, este método sólo nos servirá para resolver EDO's de orden $n$ a coeficientes constantes (ya que con esta transformación nunca se obtiene un sistema triangular).