Transformació d'EDO d'ordre n

Tota equació diferencial (de qualsevol ordre) es pot escriure en forma de sistema. Per tant podrem resoldre aquelles equacions d'ordre $n$ que s'escriguin en forma d'algun sistema que sapiguem resoldre, és a dir, un sistema a coeficients constants.

Suposem que tenim una EDO d'ordre $n$ , $x^{n)} (t) + a_{n - 1} (t) \cdot x^{n - 1)} (t) + \dots + a_{1} (t) \cdot x^{'} (t) + a_{0} (t) \cdot x (t) = f (t)$

Definim: $\begin{array}{rcl} y_{1} & = & x \\ y_{2} & = & x^{'} \\ y_{3} & = & x^{″} \\ \dots \\ y_{n} & = & x^{n - 1)} \end{array}$ Aleshores $\begin{array}{l} y_{1}^{'} = x^{'} = y_{2} \\ y_{2}^{'} = x^{″} = y_{3} \\ \dots \\ y_{n}^{'} = x^{n)} = f (t) - a_{n - 1} (t) \cdot x^{n - 1)} (t) - \dots - a_{1} (t) \cdot x^{'} (t) - a_{0} (t) \cdot x (t) = \\ = f (t) - a_{n - 1} (t) \cdot y_{n} (t) - \dots - a_{1} (t) \cdot y_{2} (t) - a_{0} (t) \cdot y_{1} (t) \end{array}$ Obtenint un sistema lineal d'ordre $1$ . Com ja hem dit, si és a coeficients constants, ho sabrem resoldre.

Donar la solució, consistirà en donar la funció $y_{1} (t)$ , ja que $x (t) = y_{1} (t)$ .

Exemple

Per exemple, considerem l'EDO d'ordre $5$ : $x^{5)} + 21 x^{3)} - 2 x^{″} - x = 2 \cos t$ Diem: $\begin{array}{rcl} y_{1} & = & x \\ y_{2} & = & x^{'} \\ y_{3} & = & x^{″} \\ y_{4} & = & x^{‴} \\ y_{5} & = & x^{4)} \end{array}$

Així obtenim el sistema: $\begin{array}{l} y_{1}^{'} = y_{2} \\ y_{2}^{'} = y_{3} \\ y_{3}^{'} = y_{4} \\ y_{4}^{'} = y_{5} \\ y_{5}^{'} = - 21 y_{4} + 2 y_{3} + y_{1} + 2 \cos t \end{array}$

que podem escriure en forma matricial com: $(\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ y_{3}^{'} \\ y_{4}^{'} \\ y_{5}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & - 21 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ y_{5} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \cos t \end{matrix})$

Aquest mètode d'obtenció d'un sistema lineal és totalment general. Tot i això, tenint en compte que només sabem resoldre sistemes a coeficients constants, aquest mètode només ens servirà per resoldre EDO's d'ordre $n$ a coeficients constants (ja que amb aquesta transformació mai s'obté un sistema triangular).