Equacions lineals a coeficients constants d'ordre n

Buscarem solucions d'un sistema lineal a coeficients constants d'ordre $n$ no homogeni. Tot i així, haurem d'afegir una restricció en el mètode que presentarem.

Si la nostra EDO és: $a_{n} \cdot y^{(n)} (x) + a_{n - 1} \cdot y^{(n - 1)} (x) + \dots + a_{1} \cdot y^{'} (x) + a_{0} \cdot y (x) = f (x)$ (lineal a coeficients constants) hem de demanar que la funció $f (x)$ sigui un polinomi, una exponencial, sinus o cosinus o qualsevol combinació d'aquestes.

És a dir, ara estarem preparats per resoldre per exemple: $y^{″} + y = 3 \cos x + e^{2} x$

Pel mateix motiu que en sistemes lineals, una solució general d'aquesta equació és la suma de la solució de la part homogènia i la solució particular de la no homogènia.

Anem a resoldre l'EDO pel mètode del polinomi anul·lador o de coeficients indeterminats.

Suposem que tenim l'EDO escrita anteriorment i $f (x)$ una funció que compleix les condicions que hem demanat. Llavors:

Resolem la part homogènia. De manera que obtenim $n$ solucions linealment independents.

Exemple

En l'exemple que hem donat, les solucions són: $y_{1} (x) = \cos x y_{2} (x) = \sin x$

Busquem un polinomi que anul·li $f (x)$ . Aquesta operació consisteix a trobar un polinomi que els seus coeficients multipliquin les derivades. És a dir: $Q (D) = b_{n} D^{n} + b_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + b_{1} D + b_{0} I d$ on $D^{k}$ significa derivar $k$ vegades la funció que el multiplica. Així, $Q (D) f (x) = (b_{n} D^{n} + b_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + b_{1} D + b_{0} I d) f (x) = = b_{n} D^{n} f (x) + b_{n - 1} D^{n - 1} f (x) + \dots + b_{1} D f (x) + b_{0} I d \cdot f (x) = = b_{n} f^{n} (x) + b_{n - 1} f^{n - 1} (x) + \dots + b_{1} f^{'} (x) + b_{0} f (x) = 0$ És a dir, és com buscar quina EDO lineal i homogènia satisfà $f (x)$ . Per fer-ho procedim de manera inversa (de quan trobem solucions en el cas homogeni).

Exemple

En l'exemple anterior, hem de trobar un polinomi que anul·li $f (x) = 3 \cos x + e^{2 x}$ .

Procedim de manera inversa que quan trobem solucions, és a dir: $\cos x$ prové de $λ = i e^{2 x}$ que prové de $λ = 2$ .

Per tant el polinomi anul·lador és: $Q (D) = (D^{2} + I D) \cdot (D \cdot 2 I d)$ .

En efecte, $Q (D) f (x) = (D^{2} + I d) \cdot (D - 2 I d) f (x) = (D^{3} - 2 D^{2} + D - 2 I d) f (x) = = f^{‴} (x) - e f^{″} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = = 3 \sin x + 8 e^{2 x} + 6 \cos x - 8 e^{2 x} - 3 \sin x + 2 e^{2 x} - 6 \cos x - 2 e^{2 x} = 0$

Notem que, introduint aquesta notació, la nostra EDO inicial es pot escriure com $P (D) y (x) = f (x)$ , amb $P (D) = a_{n} D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{1} D + a_{0} I d$ Aplicant el polinomi $Q (D)$ a l'anterior igualtat tenim: $P (D) y (x) = f (x) ⟹ Q (D) P (D) y (x) = Q (D) f (x) = 0$ i per tant tenim una nova equació, però homogènia d'ordre $k$ (més gran que $n$ ). Llavors solucionem aquest problema, obtenint $k$ funcions, de les quals les $n$ primeres són solucions trobades en (1). $y^{⋆} (x) = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x) + D_{1} {\tilde{y}}_{n + 1} (x) + \dots + D_{k} {\tilde{y}}_{k} (x)$

Exemple

En l'exemple anterior, doncs, tenim $Q (D) P (D) = (D^{2} + I d) (D^{2} + I d) (D - 2 I d)$ que té per arrels (i per tant per solucions associades): $λ = \pm i$ amb multiplicitat $2$ que dóna per solucions $\cos x, \sin x, x \cdot \cos x, x \cdot \sin x$ , $λ = 2$ que dóna per solució $e^{2 x}$ .

Per tant tenim que $y^{⋆} (x) = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x + D_{1} x \cdot \cos x + D_{2} x \cdot \sin x + D_{3} e^{2 x}$

Busquem una solució particular de l'equació no homogènia de la forma: $y_{p} (x) = D_{1} {\tilde{y}}_{n + 1} (x) + \dots + D_{k} {\tilde{y}}_{k} (x)$ és a dir, agafem les solucions que han aparegut en (3), que no teníem en (1) i busquem certs coeficients per obtenir la solució.

Exemple

En el nostre exemple, hem de buscar una solució particular de la forma: $y_{p} (x) = D_{1} \cdot \cos x$ .

Imposem que sigui solució: $y_{p}^{″} + y_{p} = 3 \cos x + e^{2 x} y_{p}^{″} + y_{p} = - 2 D_{1} \sin x - D_{1} x \cos x + 2 D_{2} \cos x - D_{2} x \sin x + 4 D_{3} e^{2 x} + D_{1} x \cos x +$ $+ D_{2} x \sin x + D_{3} e^{2 x} = = - 2 D_{1} \sin x + 2 D_{2} \cos x + 5 D_{3} e^{2 x}$ Igualant coeficients, obtenim: $D_{1} = 0 D_{2} = \frac{3}{2} D_{3} = \frac{1}{5}$ Per tant, la solució particular és: $y_{p} (x) = \frac{3}{2} x \cdot \sin x + \frac{1}{5} e^{2 x}$

Finalment, tenim que la solució general de la nostra EDO no homogènia inicial és: $y (x) = y_{h} (x) + y_{p} (x)$

Exemple

Per acabar amb el nostre exemple, tenim que la solució general és: $y (x) = c_{1} \cos x + c_{2} \sin x + \frac{3}{2} x \cdot \sin x + \frac{1}{5} e^{2 x}$