Exercicis de Equacions lineals a coeficients constants d'ordre n

Desenvolupament:

Tenim una EDO lineal a coeficients constants no homogènia. Primer de tot resolem la part homogènia $$y^{″}+4y=0$$ Tenim per polinomi característic: $p(\lambda )={\lambda }^2+4$ que que té per arrels:

• $\lambda =\pm 2i$ arrel complexa i la seva conjugada que donen per solució $y_1(x)=\cos (2x)$ y $y_1(x)=\sin (2x)$.

Busquem un polinomi $Q(D)$ que anul·li $f(x)$. Per fer-ho procedim de manera inversa de quan calculem solucions homogènies:

• $\cos (x)$ procedeix d'una arrel complexa $\lambda =i$

• $\sin (x)$ procedeix d'una arrel complexa $\lambda =-i$

• $1$ procedeix d'una arrel real simple $\lambda =0$

Per tant el polinomi és $Q(D)=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)(D-0)=(D^2+Id)D$

Considerem el nou problema homogeni $Q(D)P(D)y(x)=0$ $$Q(D)P(D)y(x)=(D^2+Id)D(D^2+4D)y(x)=$$ $$=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)D(D^2-4Id)y(x)=0$$ Obtenim que les solucions del problema són: $$y^{\ast }(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+C_3+C_4\sin (x)+C_5\cos (x)$$ Ara, agafem les funcions que són solució de $y^{\ast }$, però que no ho eren de $y_h$, i busquem una solució particular de com combinació lineal d'aquestes solucions: $$y_p(x)=A+B\cdot \cos (x)+C\cdot \sin (x)$$ Imposem que sigui solució: $$\begin{array}{l}{y}_p^{″}+4y_p=4\cos (x)+3\sin (x)-8\\ y_p^{″}+4y_p=-B\cos (x)-C\sin (x)+4A+4B\cos (x)+4C\sin (x)=\\ =4A+3B\cos (x)+3C\sin (x)\end{array}\}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{c}4A=-8\\ 3B=4\\ 3C=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}A=-2\\ B={\displaystyle \frac{4}{3}}\\ C=1\end{array}$$ Finalment tenim que la solució general és: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+{\displaystyle \frac{4}{3}}\cos (x)+\sin (x)-2$$

Solució:

$y(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+{\displaystyle \frac{4}{3}}\cos (x)+\sin (x)-2$

Amagar desenvolupament i solució