Ejercicios de Ecuaciones lineales a coeficientes constantes de orden n

Desarrollo:

Tenemos una EDO lineal a coeficientes constantes no homogénea. Primero de todo resolvemos la parte homogénea $$y^{″}+4y=0$$ Tenemos por polinomio característico: $p(\lambda )={\lambda }^2+4$ que tiene por raíces:

• $\lambda =\pm 2i$ raíz compleja y su conjugada que dan por solución $y_1(x)=\cos (2x)$ y $y_1(x)=\sin (2x)$.

Buscamos un polinomio $Q(D)$ que anule nuestra $f(x)$. Para hacerlo procedemos de forma inversa de cuando calculamos soluciones homogéneas:

• $\cos (x)$ procede de una raíz compleja $\lambda =i$

• $\sin (x)$ procede de una raíz compleja $\lambda =-i$

• $1$ procede de una raíz real simple $\lambda =0$

Por lo tanto el polinomio es $Q(D)=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)(D-0)=(D^2+Id)D$

Consideramos el nuevo problema homogéneo $Q(D)P(D)y(x)=0$ $$Q(D)P(D)y(x)=(D^2+Id)D(D^2+4D)y(x)=$$ $$=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)D(D^2-4Id)y(x)=0$$ Obtenemos que las soluciones de este problema son: $$y^{\ast }(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+C_3+C_4\sin (x)+C_5\cos (x)$$ Ahora, cogemos las funciones que son solución de $y^{\ast }$, pero que no lo eran de $y_h$, y buscamos una solución particular de como combinación lineal de estas soluciones: $$y_p(x)=A+B\cdot \cos (x)+C\cdot \sin (x)$$ Imponemos que sea solución: $$\begin{array}{l}{y}_p^{″}+4y_p=4\cos (x)+3\sin (x)-8\\ y_p^{″}+4y_p=-B\cos (x)-C\sin (x)+4A+4B\cos (x)+4C\sin (x)=\\ =4A+3B\cos (x)+3C\sin (x)\end{array}\}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{c}4A=-8\\ 3B=4\\ 3C=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}A=-2\\ B={\displaystyle \frac{4}{3}}\\ C=1\end{array}$$ Finalmente tenemos que la solución general es: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+{\displaystyle \frac{4}{3}}\cos (x)+\sin (x)-2$$

Solución:

$y(x)=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+{\displaystyle \frac{4}{3}}\cos (x)+\sin (x)-2$

Ocultar desarrollo y solución