Resolver la siguiente ecuación: $$y''+4y=4 \cos x +3 \sin x -8$$
Desarrollo:
Tenemos una EDO lineal a coeficientes constantes no homogénea. Primero de todo resolvemos la parte homogénea $$$y''+4y=0$$$ Tenemos por polinomio característico: $$p(\lambda)=\lambda^2+4$$ que tiene por raíces:
- $$\lambda=\pm2i$$ raíz compleja y su conjugada que dan por solución $$y_1(x)=\cos(2x)$$ y $$y_1(x)=\sin(2x)$$.
Buscamos un polinomio $$Q(D)$$ que anule nuestra $$f(x)$$. Para hacerlo procedemos de forma inversa de cuando calculamos soluciones homogéneas:
-
$$\cos(x)$$ procede de una raíz compleja $$\lambda=i$$
-
$$\sin(x)$$ procede de una raíz compleja $$\lambda=-i$$
- $$1$$ procede de una raíz real simple $$\lambda=0$$
Por lo tanto el polinomio es $$Q(D)=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)(D-0)=(D^2+Id)D$$
Consideramos el nuevo problema homogéneo $$Q(D)P(D)y(x)=0$$ $$$Q(D)P(D)y(x)=(D^2+Id)D(D^2+4D)y(x)=$$$ $$$=(D+Id\cdot i)(D-Id\cdot i)D(D^2-4Id)y(x)=0$$$ Obtenemos que las soluciones de este problema son: $$$y^*(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+C_3+C_4\sin(x)+C_5\cos(x)$$$ Ahora, cogemos las funciones que son solución de $$y^*$$, pero que no lo eran de $$y_h$$, y buscamos una solución particular de como combinación lineal de estas soluciones: $$$y_p(x)=A+B\cdot \cos(x)+C\cdot\sin(x)$$$ Imponemos que sea solución: $$$\left. \begin {array} {l} y_p''+4y_p=4\cos(x)+3\sin(x)-8 \\ y_p''+4y_p=-B\cos(x)-C\sin(x)+4A+4B\cos(x)+4C\sin(x)= \\ = 4A+3B\cos(x)+3C\sin(x)\end{array}\right\}$$$ $$$\Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} 4A=-8 \\ 3B=4 \\ 3C=3 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin {array} {c} A=-2 \\ B=\dfrac{4}{3} \\ C=1 \end{array}\right.$$$ Finalmente tenemos que la solución general es: $$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\dfrac{4}{3}\cos(x)+\sin(x)-2$$$
Solución:
$$y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\dfrac{4}{3}\cos(x)+\sin(x)-2$$