Resol les equacions logarítmiques:
a) $$\log\Big(\dfrac{x}{3}+2\Big)-\log(2x-5)=0$$
b) $$\log(x+5)-1=\log(x-4)$$
c) $$\log(x+1)+\log(x-3)=\log x^2$$
Desenvolupament:
a) La primera equació és senzilla, només cal passar el segon logaritme a l'altre costat de la igualtat, de manera que es poden eliminar els logaritmes i operar amb l'equació equivalent resultant: $$$\log\Big(\dfrac{x}{3}+2\Big)-\log(2x-5)=0 \Rightarrow \log\Big(\dfrac{x}{3}+2\Big)=\log(2x-5)$$$ I així, només cal resoldre: $$$\dfrac{x}{3}+2=2x-5 \Rightarrow \dfrac{x}{3}-2x=-5-2 \Rightarrow \dfrac{x-6x}{3}=7 \Rightarrow \dfrac{-5x}{3}=-7 \Rightarrow $$$ $$$\Rightarrow -5x=-21 \Rightarrow x=\dfrac{21}{5}$$$
b) En el cas de la segona equació, s'agrupen les incògnites en el primer membre i es deixa el terme independent en el segon: $$$\log(x+5)-1=\log(x-4) \Rightarrow \log(x+5)-\log(x-4)=1$$$ Ara, el primer terme pot agrupar per la propietat del quocient dels logaritmes, de manera que: $$$\log\Big(\dfrac{x+5}{x-4}\Big)=1 \Rightarrow \dfrac{x+5}{x-4}=10^1$$$ I així, només cal resoldre: $$$x+5=10\cdot(x-4) \Rightarrow x+5=10x-40 \Rightarrow x-10x=-40-5 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow -9x=-45 \Rightarrow x=\dfrac{-45}{-9}=5$$$
c) Finalment, la tercera equació sembla de segon grau, però en operar es veurà que aquest grau es perd.
El primer que es pot fer és agrupar el primer membre per la propietat del producte de logaritmes: $$$\log(x+1)+\log(x-3)=\log x^2 \Rightarrow \log[(x+1)\cdot(x-3)]=\log x^2$$$ En aquest punt, els logaritmes es poden eliminar per obtenir una equació equivalent: $$$(x+1)\cdot(x-3)=x^2 \Rightarrow x^2-3x+x-3=x^2 \Rightarrow x^2-x^2-2x=3 \Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}$$$
Perquè la solució sigui vàlida, els monomis afectats per logaritmes en l'equació han de ser nombres majors que $$0$$. Es comprova substituint el valor de $$x$$ en el primer d'ells per veure si es compleix la regla: $$$x+1 \Rightarrow -\dfrac{3}{2}+1 \Rightarrow \dfrac{-3+2}{2}=-\dfrac{1}{2}$$$ El resultat és negatiu, per la qual cosa $$-\dfrac{3}{2}$$ no és solució de l'equació. De manera que l'última equació no té solució.
Solució:
a) $$x=\dfrac{21}{5}$$
b) $$x=5$$
c) No té solució.