Equacions logarítmiques de primer grau

En una equació logarítmica hi ha una o diverses incògnites afectades per un logaritme.

Exemple

$\log x + 4 = 6$

Per resoldre aquest tipus d'equacions cal tenir presents les propietats dels logaritmes, que es resumeixen a continuació:

$\log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x$
$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$
$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$

Però a més, cal tenir en compte les dues regles relacionades amb les operacions amb equacions:

$\log_{a} x = \log_{a} y \Rightarrow x = y$

És a dir, si tots dos membres d'una equació estan afectats per logaritmes en base $a$ es poden eliminar aquests últims i s'obté una equació equivalent.

I, hem de recordar la definició de logaritme: $\log_{a} x = b \Rightarrow x = a^{b}$

O, el logaritme de base $a$ de $x$ igual a $b$ , implica que $a$ elevat a $b$ és el nombre $x$ .

Exemple

Sabent aquestes dues regles ja es pot resoldre l'equació $\log x + 4 = 6$ .

En primer lloc, cal aïllar la $x$ en un membre i els termes independents en l'altre: $\log x = 6 - 4$ S'opera el segon terme: $\log x = 2$ I s'aplica la regla de passar el logaritme a l'altra banda de la igualtat, de manera que s'obté: $x = 10^{2} = 100$

Cal recordar que en passar a l'altra banda, la base de la potència ha de ser la mateixa que la del logaritme.

En l'exemple, l'equació conté un logaritme de base $10$ i, per tant, hem de conservar el $10$ com la base de la potència.

Si el logaritme fos en base $2$ , la potència també ho seria. I si la base no ve especificada i el símbol utilitzat és és $\ln$ o tenim el símbol $e$ , aleshores és el nombre $e$ que s'hauria d'utilitzar com a base.

Exemple

$\log 4 x = \log 2 + 1$ Primer, s'aïllen els logaritmes a un costat i el terme independent a l'altre: $\log 4 x - \log 2 = 1$ Per la propietat del quocient dels logaritmes el primer terme es pot simplificar de la manera següent: $\log \frac{4 x}{2} = 1$

Ara el logaritme es pot passar a l'altra banda de la igualtat en forma de potència: $\frac{4 x}{2} = 10^{1} \to \frac{4 x}{2} = 10$

En aquest punt l'expressió és una equació lineal amb una incògnita normal i corrent i, per tant, senzilla de resoldre. Podem simplificar el $4$ i el $2$ i obtenim: $2 x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{2} = 5$

Exemple

$\log (2 x + 1) = \log x + 2$ Una opció per resoldre aquesta equació és seguir els mateixos passos utilitzats per a resoldre l'anterior: es deixen les incògnites a una banda i el terme independent a l'altre, de manera que: $\log (2 x + 1) - \log x = 2$

Per la propietat de la diferència de logaritmes es pot agrupar el primer membre de manera que: $\log (\frac{2 x + 1}{x}) = 2$

Ara es pot passar el logaritme a l'altra banda de la igualtat, de manera que s'obté una equació lineal amb una incògnita: $\frac{2 x + 1}{x} = 10^{2} \Rightarrow \frac{2 x + 1}{x} = 100 \Rightarrow 2 x + 1 = 100 x \Rightarrow 2 x - 100 x = - 1 \Rightarrow$ $\Rightarrow - 98 x = - 1 \Rightarrow x = \frac{1}{98}$

Una altra opció per a resoldre la mateixa equació, igualment vàlida, és tractar d'expressar el terme independent en forma de logaritme en base $10$ .

Aleshores podem utilitzar la primera regla que hem introduït per obtenir la mateixa equació lineal amb una incògnita, que sabem resoldre. Però, com expressar $2$ com un logaritme? Plantejar una senzilla equació proporciona la resposta gairebé de forma immediata: $\log x = 2$ És a dir, el logaritme decimal de quin número és igual a $2$ ? Per a això només cal aïllar $x$ , tal com s'ha ensenyat prèviament: $x = 10^{2} = 100$ Ara, es pot plantejar una equació equivalent a la primera, però amb tots els membres dins del logaritme ( $\log 100$ en comptes de $2$ ): $\log (2 x + 1) = \log x + \log 100$

S'agrupa el segon membre per la propietat de la suma de logaritmes: $\log (2 x + 1) = \log (100 x)$ Ara es poden eliminar els logaritmes, de manera que s'arriba a una equació lineal amb una incògnita semblant a l'obtinguda anteriorment: $2 x + 1 = 100 x \Rightarrow 2 x - 100 x = - 1 \Rightarrow - 98 x = - 1 \Rightarrow x = \frac{1}{98}$

És important tenir en compte que a l'hora de treballar amb logaritmes hem d'aplicar-los a nombres positius. Així doncs, algunes solucions obtingudes de l'equació lineal poden no ser vàlides.

Exemple

$\log (x - 7) - \log 2 x = 0$ En aquest cas es pot tractar d'eliminar els logaritmes i obtenir una equació equivalent. Per a això, es passa el segon terme del primer membre a l'altre costat de la igualtat: $\log (x - 7) = \log (2 x)$

En aquest punt, es poden eliminar els logaritmes, de manera que queda una equació lineal amb una incògnita: $x - 7 = 2 x \Rightarrow x - 2 x = 7 \Rightarrow - x = 7 \Rightarrow x = - 7$

Fins aquí tot sembla correcte, però en substituir el resultat en l'equació logarítmica inicial s'obtindran les següents expressions: $\log (- 7 - 7) - \log (2 \cdot (- 7)) = 0 \Rightarrow \log (- 14) - \log (- 14) = 0$ El problema és que només existeixen els logaritmes de nombres reals positius. De manera que $x = - 7$ no és una solució possible.

En aquests casos es diu que l'equació no té solució.