Equacions logarítmiques de segon grau

Quan es tracta d'equacions logarítmiques de segon grau l'objectiu principal és desfer-se dels logaritmes i obtenir una equació de segon grau equivalent.

Exemple

$\log (x^{2} + 2 x) - \log 8 = 0$ Si es passa el terme independent al segon membre es podran eliminar els logaritmes, de manera que s'obté una equació de segon grau completa: $\log (x^{2} + 2 x) = \log 8 \Rightarrow x^{2} + 2 x = 8 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0$ Per resoldre-la cal recordar la fórmula: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ De manera que: $x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 8)}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{- 2 \pm 6}{2}$ Per tant, les solucions de l'equació seran: $x = \frac{- 2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 x = \frac{- 2 - 6}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$

Però és necessari tenir en compte que que algunes de les solucions no seran vàlides per a una equació logarítmica, ja que només existeix el logaritme de nombres més grans que $0$ . De manera que cal comprovar, substituint $x$ , si obtenim valors negatius. Comprovem-los:

Quan $x = 2$ $x^{2} + 2 x \Rightarrow 2^{2} + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 16 > 0$ Després, la solució és vàlida.

Per $x = - 4$ $x^{2} + 2 x \Rightarrow (- 4)^{2} + 2 \cdot (- 4) = 16 - 8 = 8 > 0$ Per tant, aquesta solució també és vàlida.

En el cas anterior, l'equació equivalent a la logarítmica era de segon grau completa. Però també és possible que una equació logarítmica derivi en una equació de segon grau incompleta.

Exemple

$\log (9 - x^{2}) = 2 \log (3 x - 3)$ Per la propietat del logaritme de la potència es pot operar el segon membre de manera que: $\log (9 - x^{2}) = \log (3 x - 3)^{2}$ Amb el que es poden eliminar els logaritmes i treballar directament amb l'equació de segon grau resultant: $9 - x^{2} = (3 x - 3)^{2} \Rightarrow 9 - x^{2} = 9 x^{2} - 18 x + 9 \Rightarrow 9 x^{2} + x^{2} - 18 x + 9 - 9 = 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow 10 x^{2} - 18 x = 0$ Veiem que podem simplificar l'equació i ens quedem sense consant. Llavors podem treure factor comú $x$ i obtenim: $x (10 x - 18) = 0$ Amb el que: $\begin{array}{l} x = 0 \\ 10 x - 18 = 0 \Rightarrow x = \frac{18}{10} \Rightarrow x = \frac{9}{5} \end{array}$

Per comprovar que ambdues solucions ho són també de l'equació logarítmica caldrà substituir els valors trobats en les expressions entre parèntesis:

Quan $x = 0$ $9 - x^{2} \Rightarrow 9 - 0 = 9 > 0$ i $(3 x - 3)^{2} \Rightarrow (3 \cdot 0 - 3)^{2} = 9 > 0$ Pel que $x = 0$ és solució de l'equació logarítmica.

Quan $x = \frac{9}{5}$ $9 - x^{2} \Rightarrow 9 - (\frac{9}{5})^{2} = 9 - \frac{81}{25} > 0$ i $(3 x - 3)^{2} \Rightarrow (3 \cdot \frac{9}{5} - 3)^{2} = (\frac{27}{5} - 3)^{2} = (\frac{27 - 5}{5})^{2} = \frac{12^{2}}{5^{2}} > 0$ Per tant, també és una solució vàlida.

Vegem un últim exemple abans de passar als exercicis:

Exemple

$\log \sqrt{2 x} = \log (x - 3) + \log 2$ Com en els casos anteriors, s'ha d'intentar desfer-se dels logaritmes.

Per això s'aplica la propietat en que la suma dels logaritmes és el logaritme del producte: $\log \sqrt{2 x} = \log (2 \cdot (x - 3))$ Amb el que es poden eliminar els logaritmes i treballar amb l'equació equivalent: $\sqrt{2 x} = 2 \cdot (x - 3) \Rightarrow \sqrt{2 x} = 2 x - 6$ Ara cal desfer-se del radical. Per aconseguir-ho elevem al quadrat els termes de cada costat i observem que obtenim una equació de segon grau: $2 x = (2 x - 6)^{2}$ S'opera el segon membre i s'organitzen els termes per tenir l'equació completa: $2 x = 4 x^{2} - 24 x + 36 \Rightarrow 4 x^{2} - 24 x - 2 x + 36 = 0 \Rightarrow 4 x - 26 x + 36 = 0$

Tots els termes de l'equació resultant es poden dividir entre $2$ de manera que s'obté una equació equivalent una mica més senzilla: $\frac{4 x^{2} - 26 x + 36}{2} = 0 \Rightarrow 2 x^{2} - 13 x + 18 = 0$

En aquest punt s'aplica la fórmula per trobar $x$ : $x = \frac{13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{13 \pm 5}{4}$

Amb la qual cosa les solucions possibles seran: $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{13 + 5}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \\ x & = & \frac{13 - 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \end{array}$

Ara cal comprovar que realment els valors trobats són solució de l'equació logarítmica, ja que no es poden donar valors negatius al logaritme. Comprovem les solucions:

Si $x = \frac{9}{2}$ : $x - 3 \Rightarrow \frac{9}{2} - 3 = \frac{9 - 6}{2} = \frac{3}{2} > 0$ Per tant, el primer valor és solució de l'equació logarítmica.

Si $x = 2$ : $x - 3 \Rightarrow 2 - 3 = - 1 < 0$ Veiem que obtenim un nombre negatiu i per tant hem de descartar aquesta solució.

L'equació proposta té, per tant, una única solució: $x = \frac{9}{2}$ .