Quan es tracta d'equacions logarítmiques de segon grau l'objectiu principal és desfer-se dels logaritmes i obtenir una equació de segon grau equivalent.
$$$\log(x^2+2x)-\log 8=0$$$ Si es passa el terme independent al segon membre es podran eliminar els logaritmes, de manera que s'obté una equació de segon grau completa: $$$\log(x^2+2x)=\log 8 \Rightarrow x^2+2x=8 \Rightarrow x^2+2x-8=0$$$ Per resoldre-la cal recordar la fórmula: $$$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$ De manera que: $$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4\cdot (-8)}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$$ Per tant, les solucions de l'equació seran: $$$\displaystyle x=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ \displaystyle x=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$$
Però és necessari tenir en compte que que algunes de les solucions no seran vàlides per a una equació logarítmica, ja que només existeix el logaritme de nombres més grans que $$0$$. De manera que cal comprovar, substituint $$x$$, si obtenim valors negatius. Comprovem-los:
Quan $$x=2$$ $$$x^2+2x \Rightarrow 2^2+2 \cdot 2=4+4=16 >0$$$ Després, la solució és vàlida.
Per $$x =-4$$ $$$x^2+2x \Rightarrow (-4)^2+2 \cdot (-4)=16-8=8 >0$$$ Per tant, aquesta solució també és vàlida.
En el cas anterior, l'equació equivalent a la logarítmica era de segon grau completa. Però també és possible que una equació logarítmica derivi en una equació de segon grau incompleta.
$$$\log(9-x^2)=2\log(3x-3)$$$ Per la propietat del logaritme de la potència es pot operar el segon membre de manera que: $$$\log(9-x^2)=\log(3x-3)^2$$$ Amb el que es poden eliminar els logaritmes i treballar directament amb l'equació de segon grau resultant: $$$9-x^2=(3x-3)^2 \Rightarrow 9-x^2=9x^2-18x+9 \Rightarrow 9x^2+x^2-18x+9-9=0 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow 10x^2-18x=0$$$ Veiem que podem simplificar l'equació i ens quedem sense consant. Llavors podem treure factor comú $$x$$ i obtenim: $$$x(10x-18)=0$$$ Amb el que: $$$\begin{array}{l}x=0\\ \\ 10x-18=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{18}{10}\Rightarrow x=\frac{9}{5} \end{array}$$$
Per comprovar que ambdues solucions ho són també de l'equació logarítmica caldrà substituir els valors trobats en les expressions entre parèntesis:
Quan $$x=0$$ $$$9-x^2 \Rightarrow 9-0=9>0$$$ i $$$(3x-3)^2 \Rightarrow (3\cdot 0-3)^2= 9>0$$$ Pel que $$x=0$$ és solució de l'equació logarítmica.
Quan $$x =\displaystyle \frac{9}{5}$$ $$$\displaystyle 9-x^2\Rightarrow 9-\Big( \frac{9}{5}\Big)^2=9-\frac{81}{25}>0$$$ i $$$\displaystyle (3x-3)^2 \Rightarrow \Big(3\cdot \frac{9}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27-5}{5}\Big)^2=\frac{12^2}{5^2}>0$$$ Per tant, també és una solució vàlida.
Vegem un últim exemple abans de passar als exercicis:
$$$\displaystyle \log \sqrt{2x}=\log (x-3)+\log 2$$$ Com en els casos anteriors, s'ha d'intentar desfer-se dels logaritmes.
Per això s'aplica la propietat en que la suma dels logaritmes és el logaritme del producte: $$$\displaystyle \log\sqrt{2x}=\log (2 \cdot (x-3))$$$ Amb el que es poden eliminar els logaritmes i treballar amb l'equació equivalent: $$$\displaystyle \sqrt{2x}=2 \cdot (x-3) \Rightarrow \sqrt{2x}=2x-6$$$ Ara cal desfer-se del radical. Per aconseguir-ho elevem al quadrat els termes de cada costat i observem que obtenim una equació de segon grau: $$$2x=(2x-6)^2$$$ S'opera el segon membre i s'organitzen els termes per tenir l'equació completa: $$$2x=4x^2-24x+36 \Rightarrow 4x^2-24x-2x+36=0 \Rightarrow 4x-26x+36=0$$$
Tots els termes de l'equació resultant es poden dividir entre $$2$$ de manera que s'obté una equació equivalent una mica més senzilla: $$$\displaystyle \frac{4x^2-26x+36}{2}=0 \Rightarrow 2x^2-13x+18=0$$$
En aquest punt s'aplica la fórmula per trobar $$x$$: $$$\displaystyle x=\frac{13 \pm \sqrt{13^2-4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{4}=\frac{13 \pm \sqrt{25}}{4}=\frac{13 \pm 5}{4}$$$
Amb la qual cosa les solucions possibles seran: $$$\begin{array}{rcl}x & = &\displaystyle \frac{13+5}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ x&=&\frac{13-5}{4}=\frac{8}{4}=2\end{array}$$$
Ara cal comprovar que realment els valors trobats són solució de l'equació logarítmica, ja que no es poden donar valors negatius al logaritme. Comprovem les solucions:
Si $$x =\displaystyle \frac{9}{2}$$: $$$x-3 \Rightarrow \frac{9}{2} -3 =\frac{9-6}{2}=\frac{3}{2} >0$$$ Per tant, el primer valor és solució de l'equació logarítmica.
Si $$x=2$$: $$$x-3 \Rightarrow 2-3=-1 < 0$$$ Veiem que obtenim un nombre negatiu i per tant hem de descartar aquesta solució.
L'equació proposta té, per tant, una única solució: $$x=\displaystyle \frac{9}{2}$$.