Cuando se trata de ecuaciones logarítmicas de segundo grado el objetivo principal es deshacerse de los logaritmos y obtener una ecuación de segundo grado equivalente.
$$$\log(x^2+2x)-\log 8=0$$$ Si se pasa el término independiente al segundo miembro se podrán eliminar los logaritmos, con lo que se obtiene una ecuación de segundo grado completa: $$$\log(x^2+2x)=\log 8 \Rightarrow x^2+2x=8 \Rightarrow x^2+2x-8=0$$$ Para resolverla hay que recordar la fórmula: $$$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$ De modo que: $$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4\cdot (-8)}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$$ Por tanto, las soluciones de la ecuación serán: $$$\displaystyle x=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ \displaystyle x=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$$
Pero hay que tener en cuenta que algunas de las soluciones no serán válidas para una ecuación logarítmica, puesto que sólo existe el logaritmo de números mayores que $$0$$. De modo que hay que comprobar, sustituyendo $$x$$, si obtenemos valores negativos. Comprovémoslo:
Cuando $$x=2$$ $$$x^2+2x \Rightarrow 2^2+2 \cdot 2=4+4=16 >0$$$ Luego, la solución es válida.
Para $$x =-4$$ $$$x^2+2x \Rightarrow (-4)^2+2 \cdot (-4)=16-8=8 >0$$$ Por tanto, esta solución también es válida.
En el caso anterior, la ecuación equivalente a la logarítmica era de segundo grado completa. Pero también es posible que una ecuación logarítmica derive en una ecuación de segundo grado incompleta.
$$$\log(9-x^2)=2\log(3x-3)$$$ Por la propiedad del logaritmosde la potencia se puede operar el segundo miembro de modo que: $$$\log(9-x^2)=\log(3x-3)^2$$$ Con lo que se pueden eliminar los logaritmos y trabajar directamente con la ecuación de segundo grado resultante: $$$9-x^2=(3x-3)^2 \Rightarrow 9-x^2=9x^2-18x+9 \Rightarrow 9x^2+x^2-18x+9-9=0 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow 10x^2-18x=0$$$ Vemos que podemos simplificar la ecuación y nos quedamos sin constante. Entonces podemos sacar factor común $$x$$ y obtenemos: $$$x(10x-18)=0$$$ Con lo que: $$$\begin{array}{l}x=0\\ \\ 10x-18=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{18}{10}\Rightarrow x=\frac{9}{5} \end{array}$$$
Para comprobar que ambas soluciones lo son también de la ecuación logarítmica debemos sustituir los valores encontrados en las expresiones entre paréntesis:
Cuando $$x=0$$ $$$9-x^2 \Rightarrow 9-0=9>0$$$ and $$$(3x-3)^2 \Rightarrow (3\cdot 0-3)^2= 9>0$$$ Por lo que $$x=0$$ es solución de la ecuación logarítmica.
Cuando $$x =\displaystyle \frac{9}{5}$$ $$$\displaystyle 9-x^2\Rightarrow 9-\Big( \frac{9}{5}\Big)^2=9-\frac{81}{25}>0$$$ y $$$\displaystyle (3x-3)^2 \Rightarrow \Big(3\cdot \frac{9}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27}{5}-3\Big)^2=\Big(\frac{27-5}{5}\Big)^2=\frac{12^2}{5^2}>0$$$ Luego, también es una solución válida.
Veamos un último ejemplo antes de pasar a los ejercicios:
$$$\displaystyle \log \sqrt{2x}=\log (x-3)+\log 2$$$ Como en los casos anteriores, hay que intentar deshacerse de los logaritmos.
Para ello se aplica la propiedad en que la suma de los logaritmos es el logaritmo del producto: $$$\displaystyle \log\sqrt{2x}=\log (2 \cdot (x-3))$$$ Con lo que se pueden eliminar los logaritmos y trabajar con la ecuación equivalente: $$$\displaystyle \sqrt{2x}=2 \cdot (x-3) \Rightarrow \sqrt{2x}=2x-6$$$ Ahora cabe eliminar el radical. Para conseguirlo elevamos al cuadrado los térmimos de cada lado y vemos que obtenemos una ecuación de segundo grado: $$$2x=(2x-6)^2$$$ Se opera el segundo miembro y se organizan los términos para tener la ecuación completa: $$$2x=4x^2-24x+36 \Rightarrow 4x^2-24x-2x+36=0 \Rightarrow 4x-26x+36=0$$$
Todos los términos de la ecuación resultante pueden dividirse entre $$2$$ con lo que se obtiene una ecuación equivalente algo más sencilla: $$$\displaystyle \frac{4x^2-26x+36}{2}=0 \Rightarrow 2x^2-13x+18=0$$$
En este punto se aplica la fórmula para hallar $$x$$: $$$\displaystyle x=\frac{13 \pm \sqrt{13^2-4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{4}=\frac{13 \pm \sqrt{25}}{4}=\frac{13 \pm 5}{4}$$$
Con lo que las soluciones posibles serán: $$$\begin{array}{rcl}x & = &\displaystyle \frac{13+5}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}\\ x&=&\frac{13-5}{4}=\frac{8}{4}=2\end{array}$$$
Ahora debemos comprobar que realmente los valores encontrados son solución de la ecuación logarítmica, ya que no se pueden dar valores negativos al logaritmo. Comprovemos las soluciones:
Si $$x =\displaystyle \frac{9}{2}$$: $$$x-3 \Rightarrow \frac{9}{2} -3 =\frac{9-6}{2}=\frac{3}{2} >0$$$ Por lo tanto, el primer valor es solución de la ecuación logarítmica.
Si $$x=2$$: $$$x-3 \Rightarrow 2-3=-1 < 0$$$ Observemos que el número obtenido es negativo y por tanto debemos descartar esta solución.
La ecuación propuesta tiene, por tanto, una única solución: $$x=\displaystyle \frac{9}{2}$$.