Ecuaciones logarítmicas de segundo grado

Cuando se trata de ecuaciones logarítmicas de segundo grado el objetivo principal es deshacerse de los logaritmos y obtener una ecuación de segundo grado equivalente.

Ejemplo

$\log (x^{2} + 2 x) - \log 8 = 0$ Si se pasa el término independiente al segundo miembro se podrán eliminar los logaritmos, con lo que se obtiene una ecuación de segundo grado completa: $\log (x^{2} + 2 x) = \log 8 \Rightarrow x^{2} + 2 x = 8 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0$ Para resolverla hay que recordar la fórmula: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ De modo que: $x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 8)}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{- 2 \pm 6}{2}$ Por tanto, las soluciones de la ecuación serán: $x = \frac{- 2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 x = \frac{- 2 - 6}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$

Pero hay que tener en cuenta que algunas de las soluciones no serán válidas para una ecuación logarítmica, puesto que sólo existe el logaritmo de números mayores que $0$ . De modo que hay que comprobar, sustituyendo $x$ , si obtenemos valores negativos. Comprovémoslo:

Cuando $x = 2$ $x^{2} + 2 x \Rightarrow 2^{2} + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 16 > 0$ Luego, la solución es válida.

Para $x = - 4$ $x^{2} + 2 x \Rightarrow (- 4)^{2} + 2 \cdot (- 4) = 16 - 8 = 8 > 0$ Por tanto, esta solución también es válida.

En el caso anterior, la ecuación equivalente a la logarítmica era de segundo grado completa. Pero también es posible que una ecuación logarítmica derive en una ecuación de segundo grado incompleta.

Ejemplo

$\log (9 - x^{2}) = 2 \log (3 x - 3)$ Por la propiedad del logaritmosde la potencia se puede operar el segundo miembro de modo que: $\log (9 - x^{2}) = \log (3 x - 3)^{2}$ Con lo que se pueden eliminar los logaritmos y trabajar directamente con la ecuación de segundo grado resultante: $9 - x^{2} = (3 x - 3)^{2} \Rightarrow 9 - x^{2} = 9 x^{2} - 18 x + 9 \Rightarrow 9 x^{2} + x^{2} - 18 x + 9 - 9 = 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow 10 x^{2} - 18 x = 0$ Vemos que podemos simplificar la ecuación y nos quedamos sin constante. Entonces podemos sacar factor común $x$ y obtenemos: $x (10 x - 18) = 0$ Con lo que: $\begin{array}{l} x = 0 \\ 10 x - 18 = 0 \Rightarrow x = \frac{18}{10} \Rightarrow x = \frac{9}{5} \end{array}$

Para comprobar que ambas soluciones lo son también de la ecuación logarítmica debemos sustituir los valores encontrados en las expresiones entre paréntesis:

Cuando $x = 0$ $9 - x^{2} \Rightarrow 9 - 0 = 9 > 0$ and $(3 x - 3)^{2} \Rightarrow (3 \cdot 0 - 3)^{2} = 9 > 0$ Por lo que $x = 0$ es solución de la ecuación logarítmica.

Cuando $x = \frac{9}{5}$ $9 - x^{2} \Rightarrow 9 - (\frac{9}{5})^{2} = 9 - \frac{81}{25} > 0$ y $(3 x - 3)^{2} \Rightarrow (3 \cdot \frac{9}{5} - 3)^{2} = (\frac{27}{5} - 3)^{2} = (\frac{27 - 5}{5})^{2} = \frac{12^{2}}{5^{2}} > 0$ Luego, también es una solución válida.

Veamos un último ejemplo antes de pasar a los ejercicios:

Ejemplo

$\log \sqrt{2 x} = \log (x - 3) + \log 2$ Como en los casos anteriores, hay que intentar deshacerse de los logaritmos.

Para ello se aplica la propiedad en que la suma de los logaritmos es el logaritmo del producto: $\log \sqrt{2 x} = \log (2 \cdot (x - 3))$ Con lo que se pueden eliminar los logaritmos y trabajar con la ecuación equivalente: $\sqrt{2 x} = 2 \cdot (x - 3) \Rightarrow \sqrt{2 x} = 2 x - 6$ Ahora cabe eliminar el radical. Para conseguirlo elevamos al cuadrado los térmimos de cada lado y vemos que obtenemos una ecuación de segundo grado: $2 x = (2 x - 6)^{2}$ Se opera el segundo miembro y se organizan los términos para tener la ecuación completa: $2 x = 4 x^{2} - 24 x + 36 \Rightarrow 4 x^{2} - 24 x - 2 x + 36 = 0 \Rightarrow 4 x - 26 x + 36 = 0$

Todos los términos de la ecuación resultante pueden dividirse entre $2$ con lo que se obtiene una ecuación equivalente algo más sencilla: $\frac{4 x^{2} - 26 x + 36}{2} = 0 \Rightarrow 2 x^{2} - 13 x + 18 = 0$

En este punto se aplica la fórmula para hallar $x$ : $x = \frac{13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{13 \pm 5}{4}$

Con lo que las soluciones posibles serán: $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{13 + 5}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \\ x & = & \frac{13 - 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \end{array}$

Ahora debemos comprobar que realmente los valores encontrados son solución de la ecuación logarítmica, ya que no se pueden dar valores negativos al logaritmo. Comprovemos las soluciones:

Si $x = \frac{9}{2}$ : $x - 3 \Rightarrow \frac{9}{2} - 3 = \frac{9 - 6}{2} = \frac{3}{2} > 0$ Por lo tanto, el primer valor es solución de la ecuación logarítmica.

Si $x = 2$ : $x - 3 \Rightarrow 2 - 3 = - 1 < 0$ Observemos que el número obtenido es negativo y por tanto debemos descartar esta solución.

La ecuación propuesta tiene, por tanto, una única solución: $x = \frac{9}{2}$ .