En un sistema de dos ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas el método más útil pera hallar la solución es, a menudo, el de reducción o eliminación, ambos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
$$$\left .\begin{array}{rcl} \log x+\log y &=& 3\\ \log x - \log y &=& 1 \end{array} \right \}$$$ al sumar las dos ecuaciones se elimina rápidamente una incógnita ($$\log y$$), de manera que tenemos una ecuación donde $$x$$ es la única variable.
Sabemos resolver ecuaciones donde la variable $$x$$ está dentro del logaritmo, por tanto resolvemos $$x$$: $$$ + \left.\begin{array}{r} \log x+\log y = 3 \\ \underline{\log x-\log y =1} \\ 2 \log x+0 =4 \end{array}\right\} \Rightarrow 2 \log x=4 \Rightarrow \log x^2=4 \Rightarrow x^2=10^4 \Rightarrow x= 10^2=100$$$ Una vez conocido el valor de $$x$$ sustituimos en la segunda de manera que ahora sólo tendrá una incógnita, $$\log y$$.
Nuevamente, sabemos cómo resolver esta ecuación y por tanto resolver $$y$$, tenemos: $$$\log x +\log y =3 \Rightarrow \log 100 +\log y =3 \Rightarrow 2 +\log y=3 \Rightarrow \log y=1 \Rightarrow y=10^1=10 $$$ De modo que la solución al sistema es: $$x=100$$ y $$y=10$$.
En los sistemas de ecuaciones logarítmicas también debe comprovarse que las soluciones sean posibles, aunque en este caso lo son sin necesidad de comprovarlo directamente.
Hay otro tipo de sistemas de ecuaciones logarítmicas en que sólo una de las ecuaciones es logarítmica, mientras que la otra es una ecuación con dos incógnitas normal y corriente.
En estas situaciones lo más recomendable es intentar deshacerse de los logaritmos y aplicar el método más práctico para resolver cada caso.
El siguiente sistema consta de una ecuación logarítmica y otra lineal: $$$\left . \begin{array}{rcl} \log x - \log y &=& 1 \\ x+ 2y &=& 24 \end{array}\right \}$$$ Lo primero que hay que hacer es deshacerse de los logaritmos. Para ello se aplica la propiedad según la cual la diferencia de logaritmos es el logaritmo del cociente y por tanto tenemos: $$$\log x- \log y = 1 \Rightarrow \displaystyle \log \frac{x}{y}=1 \Rightarrow \frac{x}{y}=10$$$
La ecuación resultante es equivalente a la inicial, de modo que se puede sustituir en el sistema, que entonces quedará: $$$\left. \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x}{y}=10 \\ x+2y=24 \end{array}\right \}$$$
Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para resolverlo se aplicará el método de sustitución, puesto que es fácil despejar $$x$$ de la primera ecuación: $$$x=10y$$$
Ahora se sustituye dicha expresión en la segunda ecuación y se resuelve: $$$\displaystyle x+2y=24 \Rightarrow 10y+2y=24 \Rightarrow 12y=24 \Rightarrow y=\frac{24}{12}=2$$$ Una vez conocido el valor de $$y$$, saber el de $$x$$ es inmediato, basta con sustituir en la primera ecuación: $$$x=10y \Rightarrow x=10\cdot 2=20 $$$
La solución la sistema es, por tanto, $$x=20$$ y $$y=2$$, y es completamente válida puesto que ambos son números positivos.
$$$\left. \begin{array}{rcl} \log x +\log y &=& 2\\ x-y&=& 21 \end{array}\right \}$$$ Como en el caso anterior, lo más sencillo es deshacerse de los logaritmos y operar con ecuaciones lineales. De modo que hay que aplicar la propiedad de la suma de logaritmos a la primera ecuación: $$$\log x +\log y =2 \Rightarrow \log(x\cdot y)=2 \Rightarrow xy=10^2 \Rightarrow xy=100 $$$
La ecuación obtenida es equivalente a la logarítmica, de modo que tenemos un sistema lineal equivalente: $$$\left. \begin{array}{rcl}xy=100 \\ x-y=21 \end{array}\right \}$$$ Se aplica el método de sustitución para expresar $$x$$ en función de $$y$$ en la segunda ecuación: $$$x=21+y$$$ Y ahora se sustituye la expresión en la primera ecuación, obteniendo una ecuación de segundo grado con la $$y$$: $$$xy=100 \Rightarrow (21+y)y=100 \Rightarrow 21y+y^2=100 \Rightarrow y^2+21 y-100=0$$$
Podemos resolverla aplicando la fórmula: $$$\displaystyle y=\frac{-21 \pm \sqrt{21^2-4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}=\frac{-21 \pm \sqrt{441+400}}{2}=\frac{-21 \pm \sqrt{841}}{2}=\frac{-21 \pm 29}{2}$$$
De modo que los valores posibles para $$y$$ son: $$$\begin{array}{rcl} y&=& \displaystyle \frac{-21+29}{2}={8}{2}=4 \\ y&=& \frac{-21-29}{2}=\frac{-50}{2}=-25\end{array}$$$
Debemos comprobar si las soluciones son válidas o no dado que el logaritmo no acepta valores negativos. Así, si $$y=-25$$ la primera ecuación queda: $$$\log x +\log (-25)=2$$$ Y el $$\log (-25)$$ no existe.
Por otra parte, si consideramos $$y=4$$, obtenemos una solución válida. Usaremos este resultado pra encontrar el vlor de $$x$$, sustituyendo en la segunda ecuación del sistema: $$$x=21+y \Rightarrow x=21+4=25$$$
Todavía es necesario comprobar que es un valor válido para $$x$$. Pero como es un valor positivo no supone ningún problema y podemos ver que la solución del sistema es $$x=25$$ y $$y=4$$.