Resuelve los sistemas.
a) $$\left . \begin{array}{rcl} 2 \log x-3\log y&=&1 \\ \log x+\log y &=&3\end{array}\right \} $$
b) $$\left . \begin{array}{rcl}\log x + \log y &=&\log 100- \log 10 \\ x+ y &=&7\end{array}\right \} $$
Desarrollo:
a) Las dos ecuaciones del sistema son logarítmicas, de modo que se aplicará el método de eliminación.
En este sentido, se puede multiplicar la segunda ecuación por $$3$$ y luego sumarla a la primera, con lo que se consigue eliminar $$y$$: $$$3\cdot[\log x+\log y=3] \Rightarrow 3\log x+3\log y=9$$$ $$$ + \left[\begin{array}{r} 2\log x-3\log y = 1 \\ \underline{3\log x+3\log y =9} \\ 5\log x+0 =10 \end{array}\right]$$$ Se opera la ecuación resultante para hallar el valor de $$x$$: $$$5\log x=10 \Rightarrow \log x=\dfrac{10}{5}=2 \Rightarrow x=10^2=100$$$ Una vez hallado el valor de $$x$$ se sustituye en la primera ecuación para hallar el de $$y$$: $$$2\log 100-3\log y=1 \Rightarrow 2\cdot2-3\log y=1 \Rightarrow 4-3\log y=1 \Rightarrow -3\log y=1-4 \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow -3\log y=-3 \Rightarrow \log y=\dfrac{-3}{-3}=1 \Rightarrow y=10^1=10$$$
b) En el segundo caso hay una de las ecuaciones que no es logarítmica, así que se aplicará el método de sustitución. Pero primero hay deshacerse de los logaritmos de la primera ecuación: $$$\log x + \log y =\log 100- \log 10 \Rightarrow \log xy=\log\dfrac{100}{10} \Rightarrow xy=10$$$ La ecuación obtenida es equivalente a la logarítmica, así que se hace el cambio en el sistema:
$$\left . \begin{array}{rcl} xy &=&10 \\ x+y &=&7\end{array}\right \} $$
Si se despeja $$x$$ de la primera ecuación se obtiene: $$$xy=10 \Rightarrow x=\dfrac{10}{y}$$$ Ahora esta expresión se puede sustituir en la segunda ecuación: $$$x+y=7 \Rightarrow \dfrac{10}{y}+y=7 \Rightarrow \dfrac{10+y^2}{y}=7 \Rightarrow 10+y^2=7y \Rightarrow y^2-7y+10=0$$$ Se ha obtenido una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: $$$y=\dfrac{7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}=\dfrac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\dfrac{7\pm\sqrt{9}}{2}=\dfrac{7\pm3}{2}$$$ $$$y=\dfrac{7+3}{2}=\dfrac{10}{2}=5 \\ y=\dfrac{7-3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$$$ Ambas soluciones son posibles en la ecuación logarítmica, porque tanto el $$\log 5$$ como el $$\log 2$$ existen. Así que habrá que buscar para cada valor de $$y$$ cuál es el que le corresponde de $$x$$.
Para ello se sustituyen los dos valores de $$y$$ en la segunda ecuación:
Cuando $$y=5$$: $$$x=7-y \Rightarrow x=7-5=2$$$
Cuando $$y=2$$: $$$x=7-y \Rightarrow x=7-2=5$$$
Solución:
a) $$x=100; \ y=10$$
b) La segunda ecuación tiene dos soluciones posibles: $$x=2; \ y=5$$ y $$x=5; \ y=2$$.