Exercicis de Sistemes d'equacions logarítmiques

Desenvolupament:

a) Les dues equacions del sistema són logarítmiques, de manera que s'aplicarà el mètode d'eliminació.

En aquest sentit, es pot multiplicar la segona equació per $3$ i després sumar-la a la primera, amb la qual cosa s'aconsegueix eliminar $y$: $$3\cdot [\log x+\log y=3]\Rightarrow 3\log x+3\log y=9$$ $$+\left[\begin{array}{r}2\log x-3\log y=1\\ \underset{―}{3\log x+3\log y=9}\\ 5\log x+0=10\end{array}\right]$$ S'opera l'equació resultant per trobar el valor de $x$: $$5\log x=10\Rightarrow \log x={\displaystyle \frac{10}{5}}=2\Rightarrow x={10}^2=100$$ Un cop trobat el valor de $x$ es substitueix en la primera equació per trobar el de $y$: $$2\log 100-3\log y=1\Rightarrow 2\cdot 2-3\log y=1\Rightarrow 4-3\log y=1\Rightarrow -3\log y=1-4\Rightarrow$$ $$\Rightarrow -3\log y=-3\Rightarrow \log y={\displaystyle \frac{-3}{-3}}=1\Rightarrow y={10}^1=10$$

b) En el segon cas hi ha una de les equacions que no és logarítmica, així que s'aplicarà el mètode de substitució. Però primer cal desfer-se dels logaritmes de la primera equació: $$\log x+\log y=\log 100-\log 10\Rightarrow \log xy=\log {\displaystyle \frac{100}{10}}\Rightarrow xy=10$$ L'equació obtinguda és equivalent a la logarítmica, de manera que es fa el canvi en el sistema:

$\begin{array}{rcl}xy& =& 10\\ x+y& =& 7\end{array}\}$

Si s'aïlla $x$ de la primera equació s'obté: $$xy=10\Rightarrow x={\displaystyle \frac{10}{y}}$$ Ara aquesta expressió es pot substituir en la segona equació: $$x+y=7\Rightarrow {\displaystyle \frac{10}{y}}+y=7\Rightarrow {\displaystyle \frac{10+y^2}{y}}=7\Rightarrow 10+y^2=7y\Rightarrow y^2-7y+10=0$$ S'ha obtingut una equació de segon grau amb les solucions: $$y={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 1\cdot 10}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{49-40}}{2}}={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{9}}{2}}={\displaystyle \frac{7\pm 3}{2}}$$ $$\begin{gathered} y={\displaystyle \frac{7+3}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5 \\ y={\displaystyle \frac{7-3}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2 \end{gathered}$$ Ambdues solucions són possibles en l'equació logarítmica, perquè tant el $\log 5$ com el $\log 2$ existeixen. Així que caldrà buscar per a cada valor de $y$ quin és el que li correspon de $x$.

Per a això es substitueixen els dos valors de $y$ en la segona equació:

Quan $y=5$: $$x=7-y\Rightarrow x=7-5=2$$

Quan $y=2$: $$x=7-y\Rightarrow x=7-2=5$$

Solució:

a) $x=100;y=10$

b) La segona equació té dues solucions possibles: $x=2;y=5$ i $x=5;y=2$.

Amagar desenvolupament i solució