En un sistema de dues equacions logarítmiques amb dues incògnites el mètode més útil per trobar la solució és, sovint, el de reducció o eliminació, ambdós emprats per resoldre sistemes d'equacions lineals.
$$$\left .\begin{array}{rcl} \log x+\log y &=& 3\\ \log x - \log y &=& 1 \end{array} \right \}$$$ Al sumar les dues equacions s'elimina ràpidament una incògnita ($$\log y$$), de manera que tenim una equació on $$x$$ és l'única variable.
Sabem resoldre equacions on la variable $$x$$ és dins del logaritme, per tant resolem $$x$$: $$$ + \left.\begin{array}{r} \log x+\log y = 3 \\ \underline{\log x-\log y =1} \\ 2 \log x+0 =4 \end{array}\right\} \Rightarrow 2 \log x=4 \Rightarrow \log x^2=4 \Rightarrow x^2=10^4 \Rightarrow x= 10^2=100$$$ Un cop conegut el valor de $$x$$ substituim a la primera equació de manera que ara només tindrà una incògnita, $$\log y$$.
Novament, sabem com resoldre aquesta equació i per tant per resoldre $$y$$ tenim: $$$\log x +\log y =3 \Rightarrow \log 100 +\log y =3 \Rightarrow 2 +\log y=3 \Rightarrow \log y=1 \Rightarrow y=10^1=10 $$$ De manera que la solució al sistema és: $$x=100$$ i $$y=10$$.
En els sistemes d'equacions logarítmiques també cal comprovar que les solucions siguin possibles, encara que en aquest cas ho són sense necessitat de comprovar-ho directament.
Hi ha un altre tipus de sistemes d'equacions logarítmiques en què només una de les equacions és logarítmica, mentre que l'altra és una equació amb dues incògnites normal i corrent.
En aquestes situacions el més recomanable és intentar desfer-se dels logaritmes i aplicar el mètode més pràctic per resoldre cada cas.
El següent sistema consta d'una equació logarítmica i una altra de lineal: $$$\left . \begin{array}{rcl} \log x - \log y &=& 1 \\ x+ 2y &=& 24 \end{array}\right \}$$$ El primer que cal fer és desfer-se dels logaritmes. Per això s'aplica la propietat segons la qual la diferència de logaritmes és el logaritme del quocient i per tant tenim: $$$\log x- \log y = 1 \Rightarrow \displaystyle \log \frac{x}{y}=1 \Rightarrow \frac{x}{y}=10$$$
L'equació resultant és equivalent a la inicial, de manera que es pot substituir en el sistema, que llavors quedarà: $$$\left. \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x}{y}=10 \\ x+2y=24 \end{array}\right \}$$$
Es tracta d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Per resoldre s'aplicarà el mètode de substitució, ja que és fàcil aïllar $$x$$ de la primera equació: $$$x=10y$$$
Ara se substitueix aquesta expressió en la segona equació i es resol: $$$\displaystyle x+2y=24 \Rightarrow 10y+2y=24 \Rightarrow 12y=24 \Rightarrow y=\frac{24}{12}=2$$$ Un cop conegut el valor de $$y$$ el posem altre cop a la primera equació per obtenir el valor de $$x$$: $$$x=10y \Rightarrow x=10\cdot 2=20 $$$
La solució del sistema és, per tant, $$x=20$$ i $$y=2$$, i és completament vàlida ja que tots dos són nombres positius.
$$$\left. \begin{array}{rcl} \log x +\log y &=& 2\\ x-y&=& 21 \end{array}\right \}$$$ Com en el cas anterior, el més senzill és desfer-se dels logaritmes i operar amb equacions lineals. De manera que cal aplicar la propietat de la suma de logaritmes a la primera equació: $$$\log x +\log y =2 \Rightarrow \log(x\cdot y)=2 \Rightarrow xy=10^2 \Rightarrow xy=100 $$$
L'equació obtinguda és equivalent a la logarítmica, de manera que tenim un sistema lineal equivalent: $$$\left. \begin{array}{rcl}xy=100 \\ x-y=21 \end{array}\right \}$$$ S'aplica el mètode de substitució per expressar $$x$$ en funció de $$y$$ en la segona equació: $$$x=21+y$$$ I ara se substitueix l'expressió en la primera equació, obtenint una equació de segon grau amb la $$y$$: $$$xy=100 \Rightarrow (21+y)y=100 \Rightarrow 21y+y^2=100 \Rightarrow y^2+21 y-100=0$$$
Podem resoldre-la aplicant la fórmula: $$$\displaystyle y=\frac{-21 \pm \sqrt{21^2-4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}=\frac{-21 \pm \sqrt{441+400}}{2}=\frac{-21 \pm \sqrt{841}}{2}=\frac{-21 \pm 29}{2}$$$
De manera que els valors possibles per $$y$$ són: $$$\begin{array}{rcl} y&=& \displaystyle \frac{-21+29}{2}={8}{2}=4 \\ y&=& \frac{-21-29}{2}=\frac{-50}{2}=-25\end{array}$$$
Cal comprovar si les solucions són vàlides o no donat que el logaritme no accepta valors negatius. Així, si $$y=-25$$ la primera equació queda: $$$\log x +\log (-25)=2$$$ I el $$\log (-25)$$ no existeix.
D'altra banda, si considerem $$y=4$$, obtenim una solució vàlida. Farem servir aquest resultat per trobar el valor de $$x$$, substituint en la segona equació del sistema: $$$x=21+y \Rightarrow x=21+4=25$$$
Encara ens cal comprovar que és un valor vàlid per la $$x$$. Però com que és un valor positiu no suposa cap problema i per tant la solució del sistema és $$x=25$$ i $$y=4$$.