Sistemes d'equacions logarítmiques

En un sistema de dues equacions logarítmiques amb dues incògnites el mètode més útil per trobar la solució és, sovint, el de reducció o eliminació, ambdós emprats per resoldre sistemes d'equacions lineals.

Exemple

$\begin{array}{rcl} \log x + \log y & = & 3 \\ \log x - \log y & = & 1 \end{array}}$ Al sumar les dues equacions s'elimina ràpidament una incògnita ( $\log y$ ), de manera que tenim una equació on $x$ és l'única variable.

Sabem resoldre equacions on la variable $x$ és dins del logaritme, per tant resolem $x$ : $+ \begin{array}{r} \log x + \log y = 3 \\ \underset{―}{\log x - \log y = 1} \\ 2 \log x + 0 = 4 \end{array}} \Rightarrow 2 \log x = 4 \Rightarrow \log x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = 10^{4} \Rightarrow x = 10^{2} = 100$ Un cop conegut el valor de $x$ substituim a la primera equació de manera que ara només tindrà una incògnita, $\log y$ .

Novament, sabem com resoldre aquesta equació i per tant per resoldre $y$ tenim: $\log x + \log y = 3 \Rightarrow \log 100 + \log y = 3 \Rightarrow 2 + \log y = 3 \Rightarrow \log y = 1 \Rightarrow y = 10^{1} = 10$ De manera que la solució al sistema és: $x = 100$ i $y = 10$ .

En els sistemes d'equacions logarítmiques també cal comprovar que les solucions siguin possibles, encara que en aquest cas ho són sense necessitat de comprovar-ho directament.

Hi ha un altre tipus de sistemes d'equacions logarítmiques en què només una de les equacions és logarítmica, mentre que l'altra és una equació amb dues incògnites normal i corrent.

En aquestes situacions el més recomanable és intentar desfer-se dels logaritmes i aplicar el mètode més pràctic per resoldre cada cas.

Exemple

El següent sistema consta d'una equació logarítmica i una altra de lineal: $\begin{array}{rcl} \log x - \log y & = & 1 \\ x + 2 y & = & 24 \end{array}}$ El primer que cal fer és desfer-se dels logaritmes. Per això s'aplica la propietat segons la qual la diferència de logaritmes és el logaritme del quocient i per tant tenim: $\log x - \log y = 1 \Rightarrow \log \frac{x}{y} = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 10$

L'equació resultant és equivalent a la inicial, de manera que es pot substituir en el sistema, que llavors quedarà: $\begin{array}{rcl} \frac{x}{y} = 10 \\ x + 2 y = 24 \end{array}}$

Es tracta d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Per resoldre s'aplicarà el mètode de substitució, ja que és fàcil aïllar $x$ de la primera equació: $x = 10 y$

Ara se substitueix aquesta expressió en la segona equació i es resol: $x + 2 y = 24 \Rightarrow 10 y + 2 y = 24 \Rightarrow 12 y = 24 \Rightarrow y = \frac{24}{12} = 2$ Un cop conegut el valor de $y$ el posem altre cop a la primera equació per obtenir el valor de $x$ : $x = 10 y \Rightarrow x = 10 \cdot 2 = 20$

La solució del sistema és, per tant, $x = 20$ i $y = 2$ , i és completament vàlida ja que tots dos són nombres positius.

Exemple

$\begin{array}{rcl} \log x + \log y & = & 2 \\ x - y & = & 21 \end{array}}$ Com en el cas anterior, el més senzill és desfer-se dels logaritmes i operar amb equacions lineals. De manera que cal aplicar la propietat de la suma de logaritmes a la primera equació: $\log x + \log y = 2 \Rightarrow \log (x \cdot y) = 2 \Rightarrow x y = 10^{2} \Rightarrow x y = 100$

L'equació obtinguda és equivalent a la logarítmica, de manera que tenim un sistema lineal equivalent: $\begin{array}{rcl} x y = 100 \\ x - y = 21 \end{array}}$ S'aplica el mètode de substitució per expressar $x$ en funció de $y$ en la segona equació: $x = 21 + y$ I ara se substitueix l'expressió en la primera equació, obtenint una equació de segon grau amb la $y$ : $x y = 100 \Rightarrow (21 + y) y = 100 \Rightarrow 21 y + y^{2} = 100 \Rightarrow y^{2} + 21 y - 100 = 0$

Podem resoldre-la aplicant la fórmula: $y = \frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 100)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 400}}{2} = \frac{- 21 \pm \sqrt{841}}{2} = \frac{- 21 \pm 29}{2}$

De manera que els valors possibles per $y$ són: $\begin{array}{rcl} y & = & \frac{- 21 + 29}{2} = 82 = 4 \\ y & = & \frac{- 21 - 29}{2} = \frac{- 50}{2} = - 25 \end{array}$

Cal comprovar si les solucions són vàlides o no donat que el logaritme no accepta valors negatius. Així, si $y = - 25$ la primera equació queda: $\log x + \log (- 25) = 2$ I el $\log (- 25)$ no existeix.

D'altra banda, si considerem $y = 4$ , obtenim una solució vàlida. Farem servir aquest resultat per trobar el valor de $x$ , substituint en la segona equació del sistema: $x = 21 + y \Rightarrow x = 21 + 4 = 25$

Encara ens cal comprovar que és un valor vàlid per la $x$ . Però com que és un valor positiu no suposa cap problema i per tant la solució del sistema és $x = 25$ i $y = 4$ .