Ecuaciones logarítmicas de primer grado

En una ecuación logarítmica hay una o varias incógnitas afectadas por un logaritmo.

Ejemplo

$\log x + 4 = 6$

Para resolver este tipo de ecuaciones hay que tener presentes las propiedades de los logaritmos, que se resumen a continuación:

$\log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x$
$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$
$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$

Pero además, hay que tener en cuenta las siguientes dos reglas relacionadas con las operaciones con ecuaciones:

$\log_{a} x = \log_{a} y \Rightarrow x = y$

Es decir, si los dos miembros de una ecuación están afectados por logaritmos en base $a$ se pueden eliminar estos últimos y se obtiene una ecuación equivalente.

Y, debemos recordar la definición de logaritmo: $\log_{a} x = b \Rightarrow x = a^{b}$

O, el logaritmo de base $a$ de $x$ igual a $b$ , implica que $a$ elevado a $b$ es el número $x$ .

Ejemplo

Sabiendo estas dos reglas ya se puede resolver la ecuación $\log x + 4 = 6$ .

En primer lugar, hay que aislar la $x$ en un miembro y los términos independientes en el otro: $\log x = 6 - 4$ Se opera el segundo término: $\log x = 2$ Y se aplica la regla de pasar el logaritmo al otro lado de la igualdad, con lo que se obtiene: $x = 10^{2} = 100$

Hay que recordar que al pasar al otro lado, la base de la potencia tiene que ser la misma que la del logaritmo.

En el ejemplo, la ecuación contiene un logaritmo de base $10$ y, por tanto, debemos mantener el $10$ como la base de la potencia.

Si el logaritmo fuera de base $2$ , la potencia también lo sería. Y si la base no viene especificada y el símbolo utilizado es el $\ln$ o hay el símbolo $e$ , entonces es el número $e$ que debería utilizarse como base.

Ejemplo

$\log 4 x = \log 2 + 1$ Primero, ponemos los logaritmos a un lado y el término independiente en el otro: $\log 4 x - \log 2 = 1$ Por la propiedad del cociente de los logaritmos el primer término se puede simplificar de la siguiente manera: $\log \frac{4 x}{2} = 1$

Ahora el logaritmo se pude pasar al otro lado de la igualdad en forma de potencia: $\frac{4 x}{2} = 10^{1} \to \frac{4 x}{2} = 10$

En este punto la expresión es una ecuación lineal con una incógnita normal y corriente y, por tanto, fácil de resolver. Podemos simplificar el $4$ y el $2$ y obtenemos: $2 x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{2} = 5$

Ejemplo

$\log (2 x + 1) = \log x + 2$ Una posibilidad para resolver esta ecuación es seguir los mismos pasos utilizados para resolver la anterior: las incógnitas a un lado y los términos independientes en el otro, de manera que: $\log (2 x + 1) - \log x = 2$

Por la propiedad de la diferencia de logaritmos es posible agrupar el primer miembro de manera que: $\log (\frac{2 x + 1}{x}) = 2$

Ahora puede pasarse el logaritmo al otro lado de la igualdad, obteniendo así una ecación lineal con una incógnita: $\frac{2 x + 1}{x} = 10^{2} \Rightarrow \frac{2 x + 1}{x} = 100 \Rightarrow 2 x + 1 = 100 x \Rightarrow 2 x - 100 x = - 1 \Rightarrow$ $\Rightarrow - 98 x = - 1 \Rightarrow x = \frac{1}{98}$

Otra posibilidad para resolver la misma ecuación, igualmente válida, es tratar de expresar el término independiente en forma de logaritmo en base $10$ .

Entonces podemos aplicar la primera regla que hemos introducido para obtener la misma ecuación lineal con una incógnita, que sabemos resolver. Pero: cómo expresar $2$ como un logaritmo? Plantear una senzilla ecuación nos da la respuesta de forma casi inmediata: $\log x = 2$ Es decir, el logaritmo decimal de qué número es igual a $2$ ? Para ello sólo es necesario despejar $x$ , tal y como se ha enseñado previamente: $x = 10^{2} = 100$ Ahora, se puede plantear una ecuación equivalente a la primera, pero con todos sus miembros dentro del logaritmo ( $\log 100$ en vez de $2$ ): $\log (2 x + 1) = \log x + \log 100$

Se agrupa el segundo miembro por la propiedad de la suma de logaritmos: $\log (2 x + 1) = \log (100 x)$ ahora podemos eliminar los logaritmos de manera que llegamos a una ecuación lineal con una incógnita parecida a la anteriormente obtenida: $2 x + 1 = 100 x \Rightarrow 2 x - 100 x = - 1 \Rightarrow - 98 x = - 1 \Rightarrow x = \frac{1}{98}$

Es importante tener en cuenta que para trabajar con logaritmos debemos aplicarlos a nombres positivos. Así pues, algunas de las soluciones obtenidas de la ecuación lineal pude que no sean válidas.

Ejemplo

$\log (x - 7) - \log 2 x = 0$ En este caso se puede tratar de eliminar los logaritmos y obtener una ecuación equivalente. Para ello, se pasa el segundo término del primer miembro al otro lado de la igualdad: $\log (x - 7) = \log (2 x)$

En este punto, se pueden eliminar los logaritmos, con lo que queda una ecuación lineal con una incógnita: $x - 7 = 2 x \Rightarrow x - 2 x = 7 \Rightarrow - x = 7 \Rightarrow x = - 7$

Hasta aquí todo parece correcto, pero al sustituir el resultado en la ecuación logarítmica inicial se obtendrán las siguientes expresiones: $\log (- 7 - 7) - \log (2 \cdot (- 7)) = 0 \Rightarrow \log (- 14) - \log (- 14) = 0$ El problema es que sólo existen los logaritmos de nombres reales positivos. De modo que $x = - 7$ no es una solución posible.

En estos casos se dice que la ecuación no tiene solución.