Ejercicios de Ecuaciones logarítmicas de segundo grado

Desarrollo:

a) En el primer caso, hay que recurrir a la propiedad de las potencias de los logaritmos para operar en el primer miembro: $$2\log (x+5)=\log (21-3x^2)\Rightarrow \log (x+5{)}^2=\log (21-3x^2)$$ En este punto ya se pueden eliminar los logaritmos, con lo que se obtiene una ecuación de segundo grado completa que hay que resolver: $$(x+5{)}^2=21-3x^2\Rightarrow x^2+10x+25=21-3x^2\Rightarrow x^2+3x^2+10x+25-21=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2+10x+4=0$$ Para hallar $x$ hay que aplicar la fórmula: $$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4\cdot 4\cdot 4}}{2\cdot 4}}={\displaystyle \frac{-10\pm \sqrt{36}}{8}}={\displaystyle \frac{-10\pm 6}{8}}$$ De modo que las soluciones a la ecuación serán: $$\begin{gathered} x={\displaystyle \frac{-10+6}{8}}={\displaystyle \frac{-4}{8}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}} \\ x={\displaystyle \frac{-10-6}{8}}={\displaystyle \frac{-16}{8}}=-2 \end{gathered}$$ Ahora hay que comprobar que realmente los valores hallados son solución de la ecuación logarítmica. Para ello las expresiones entre paréntesis deberán de ser positivas: Si $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$: $$(x+5{)}^2\Rightarrow (-{\displaystyle \frac{1}{4}}+5{)}^2>0$$ $$(21-3x^2)\Rightarrow (21-3\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2)\Rightarrow (21-3\cdot ({\displaystyle \frac{1}{16}}))\Rightarrow (21-{\displaystyle \frac{3}{16}})>0$$ De modo que $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ es solución de la ecuación.

Si $x=-2$: $$(x+5{)}^2\Rightarrow (-2+5{)}^2>0$$ $$(21-3x^2)\Rightarrow (21-3\cdot (-2{)}^2)\Rightarrow (21-3\cdot 4)\Rightarrow (21-12)=9>0$$ Por lo que $x=-2$ también es solución de la ecuación.

b) En el segundo caso se siguen pasos similares al primero: $$\log (17-4x)=2\log (2x-1)\Rightarrow \log (17-4x)=\log (2x-1{)}^2$$ Con lo que se pueden quitar los logaritmos y trabajar con la ecuación de segundo grado $$17-4x=(2x-1{)}^2\Rightarrow 17-4x=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x^2-4x+4x+1-17=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2-16=0$$ Se obtiene una ecuación de segundo grado incompleta que hay que resolver $$4x^2=16\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{16}{4}}\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$$

Para que los valores hallados sean solución de la ecuación logarítmica el primer binomio deberá ser mayor que $0$:

Para $x=2$: $$17-4x\Rightarrow 17-4\cdot 2=17-8=9>0$$ Por lo que $x=2$ es solución de la ecuación.

Para $x=-2$: $$17-4x\Rightarrow 17-4\cdot (-2)=17+8=25>0$$ De modo que $x=-2$ también es solución de la ecuación.

c) En el último caso hay que aplicar varias de las propiedades de los logaritmos para deshacerse de ellos y conseguir una ecuación de segundo grado equivalente: $$\log x+\log 3={\displaystyle \frac{\log 4}{2\log x}}\Rightarrow \log 3x={\displaystyle \frac{\log 4}{\log x^2}}\Rightarrow \log 3x=\log (4-x^2)$$ En este punto se puede prescindir de los logaritmos y trabajar con la ecuación de segundo grado completa: $$3x=4-x^2\Rightarrow -x^2-3x+4=0$$ De manera que: $$x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{3^2-4\cdot (-1)\cdot 4}}{2\cdot (-1)}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9+16}}{-2}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{25}}{-2}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{-2}}$$ Por lo que las posibles soluciones serán: $$\begin{gathered} x={\displaystyle \frac{3+5}{-2}}=-{\displaystyle \frac{8}{2}}=-4 \\ x={\displaystyle \frac{3-5}{-2}}={\displaystyle \frac{-2}{-2}}=1 \end{gathered}$$ Ahora sólo queda comprobar si ambas son soluciones de la ecuación logarítmica, pero ya se ve enseguida que $x=-4$ no puede ser solución, puesto que al sustituir el valor en la incógnita del primer miembro de la ecuación se obtiene: $$\log x\Rightarrow \log (-4)$$ Que no existe, puesto que no hay logaritmos de números negativos. De modo que la ecuación logarítmica tiene una única solución, que es $x=1$.

Solución:

a) $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}};x=-2$

b) $x=2;x=-2$

c) $x=1$

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