Exercicis de Equacions logarítmiques de segon grau

Desenvolupament:

a) En el primer cas, cal recórrer a la propietat de les potències dels logaritmes per operar en el primer membre: $$2\log (x+5)=\log (21-3x^2)\Rightarrow \log (x+5{)}^2=\log (21-3x^2)$$ En aquest punt ja es poden eliminar els logaritmes, de manera que s'obté una equació de segon grau completa que cal resoldre: $$(x+5{)}^2=21-3x^2\Rightarrow x^2+10x+25=21-3x^2\Rightarrow x^2+3x^2+10x+25-21=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2+10x+4=0$$ Per trobar $x$ cal aplicar la fórmula: $$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}={\displaystyle \frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4\cdot 4\cdot 4}}{2\cdot 4}}={\displaystyle \frac{-10\pm \sqrt{36}}{8}}={\displaystyle \frac{-10\pm 6}{8}}$$ De manera que les solucions a l'equació seran: $$\begin{gathered} x={\displaystyle \frac{-10+6}{8}}={\displaystyle \frac{-4}{8}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}} \\ x={\displaystyle \frac{-10-6}{8}}={\displaystyle \frac{-16}{8}}=-2 \end{gathered}$$ Ara cal comprovar que realment els valors trobats són solució de l'equació logarítmica. Per això les expressions entre parèntesis hauran de ser positives: Si $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$: $$(x+5{)}^2\Rightarrow (-{\displaystyle \frac{1}{4}}+5{)}^2>0$$ $$(21-3x^2)\Rightarrow (21-3\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2)\Rightarrow (21-3\cdot ({\displaystyle \frac{1}{16}}))\Rightarrow (21-{\displaystyle \frac{3}{16}})>0$$ De manera que $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ és solució de l'equació.

Si $x=-2$: $$(x+5{)}^2\Rightarrow (-2+5{)}^2>0$$ $$(21-3x^2)\Rightarrow (21-3\cdot (-2{)}^2)\Rightarrow (21-3\cdot 4)\Rightarrow (21-12)=9>0$$ Pel que $x=-2$ també és solució de l'equació.

b) En el segon cas es segueixen passos similars al primer: $$\log (17-4x)=2\log (2x-1)\Rightarrow \log (17-4x)=\log (2x-1{)}^2$$ Amb el que es poden treure els logaritmes i treballar amb l'equació de segon grau $$17-4x=(2x-1{)}^2\Rightarrow 17-4x=4x^2-4x+1\Rightarrow 4x^2-4x+4x+1-17=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x^2-16=0$$ S'obté una equació de segon grau incompleta que cal resoldre $$4x^2=16\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{16}{4}}\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$$

Perquè els valors trobats siguin solució de l'equació logarítmica el primer binomi haurà de ser major que $0$:

Per $x=2$: $$17-4x\Rightarrow 17-4\cdot 2=17-8=9>0$$ Pel que $x=2$ és solució de l'equació.

Per $x=-2$: $$17-4x\Rightarrow 17-4\cdot (-2)=17+8=25>0$$ De manera que $x=-2$ també és solució de l'equació.

c) En l'últim cas cal aplicar algunes de les propietats dels logaritmes per desfer-se'n i aconseguir una equació de segon grau equivalent: $$\log x+\log 3={\displaystyle \frac{\log 4}{2\log x}}\Rightarrow \log 3x={\displaystyle \frac{\log 4}{\log x^2}}\Rightarrow \log 3x=\log (4-x^2)$$ En aquest punt es pot prescindir dels logaritmes i treballar amb l'equació de segon grau completa: $$3x=4-x^2\Rightarrow -x^2-3x+4=0$$ De manera que: $$x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{3^2-4\cdot (-1)\cdot 4}}{2\cdot (-1)}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9+16}}{-2}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{25}}{-2}}={\displaystyle \frac{3\pm 5}{-2}}$$ Pel que les possibles solucions seran: $$\begin{gathered} x={\displaystyle \frac{3+5}{-2}}=-{\displaystyle \frac{8}{2}}=-4 \\ x={\displaystyle \frac{3-5}{-2}}={\displaystyle \frac{-2}{-2}}=1 \end{gathered}$$ Ara només queda comprovar si ambdues són solucions de l'equació logarítmica, però ja es veu de seguida que $x=-4$ no pot ser solució, ja que en substituir el valor en la incògnita del primer membre de l'equació s'obté: $$\log x\Rightarrow \log (-4)$$ Que no existeix, ja que no hi ha logaritmes de nombres negatius. De manera que l'equació logarítmica té una única solució, que és $x=1$.

Solució:

a) $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}};x=-2$

b) $x=2;x=-2$

c) $x=1$

Amagar desenvolupament i solució