L'esperança matemàtica $$E(X)$$ és la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat per la freqüència d'aquest procés, és a dir si tenim una variable quantitativa discreta $$X$$ amb $$n$$ possibles successos: $$x_1,x_2,\ldots,x_n$$ i probabilitats $$P(X=x_i)=P_i$$ l'esperança matemàtica és:
$$$E(X)=\sum_{i=1}^n x_i\cdot P(X=x_i)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+$$$ $$$+ \ldots +x_n\cdot P(X=x_n)$$$
Quatre persones aposten $$1€$$ a que sortirà un número en un dau, cadascun a un nombre diferent. Llavors per cada euro apostat si es guanya rebran $$3$$ euros més. Sortirà a compte apostar en aquest joc?
La probabilitat de perdre $$1€$$ és $$\displaystyle \frac{5}{6}$$, ja que perdrem si no surt el nombre escollit.
En canvi la probabilitat de guanyar $$3$$ $$€$$ és de $$\displaystyle \frac{1}{6}$$.
Així l'esperança és: $$$E(X)=\Big(-1 \cdot \displaystyle \frac{5}{6}\Big)+\Big(3 \cdot \frac{1}{6}\Big)=\frac{-5}{6}+\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=\frac{-1}{3}\simeq-0.33$$$
Per tant per cada euro apostat podem perdre 0,33 cèntims.
Es diu que aquest és un joc d'esperança negativa.
Diem que un joc és equitatiu quan l'esperança de benefici és $$0$$.
Si tenim un joc amb esperança de benefici positiva es diu que és un joc d'esperança positiva.