Esperança matemàtica

L'esperança matemàtica $E (X)$ és la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat per la freqüència d'aquest procés, és a dir si tenim una variable quantitativa discreta $X$ amb $n$ possibles successos: $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ i probabilitats $P (X = x_{i}) = P_{i}$ l'esperança matemàtica és:

$E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + x_{2} \cdot P (X = x_{2}) +$ $+ \dots + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

Exemple

Quatre persones aposten $Math input error$ a que sortirà un número en un dau, cadascun a un nombre diferent. Llavors per cada euro apostat si es guanya rebran $3$ euros més. Sortirà a compte apostar en aquest joc?

La probabilitat de perdre $Math input error$ és $\frac{5}{6}$ , ja que perdrem si no surt el nombre escollit.

En canvi la probabilitat de guanyar $3$ $Math input error$ és de $\frac{1}{6}$ .

Així l'esperança és: $E (X) = (- 1 \cdot \frac{5}{6}) + (3 \cdot \frac{1}{6}) = \frac{- 5}{6} + \frac{3}{6} = - \frac{2}{6} = \frac{- 1}{3} ≃ - 0.33$

Per tant per cada euro apostat podem perdre 0,33 cèntims.

Es diu que aquest és un joc d'esperança negativa.

Diem que un joc és equitatiu quan l'esperança de benefici és $0$ .

Si tenim un joc amb esperança de benefici positiva es diu que és un joc d'esperança positiva.