Factorials i nombres combinatoris

La combinatòria és la branca de les matemàtiques que es dedica a buscar mètodes per comptar elements d'un conjunt o la manera d'agrupar elements d'un conjunt.

Per exemple,

Exemple

Si hi ha un grup de $5$ nois, Alexandre, Bernat, Carlos, David i Ernesto, dels quals se n'han de triar $2$ per a realitzar una tasca determinada. Ara ens preguntem: de quantes maneres tenim per escollir aquests dos nois?

Una elecció podria ser Alejandro i Carlos, o també David i Bernat. Però si s'haguessin de provar totes les possibilitats a mà, es trigaria molt de temps! No obstant això, l'anàlisi combinatòria ens ajudarà. De fet, és molt ràpid calcular la solució del nostre exemple (resulta que hi ha $10$ possibilitats diferents).

Aquests són dos conceptes bàsics en l'anàlisi combinatòria, és a dir, el factoial i els nombres combinatoris.

Direm al nombre resultant de multiplicar tots els nombres des de l' $1$ fins a $n$ , el factorial del nombre $n$ . Per escriure'l s'utilitza el símbol $n!$ . És a dir: $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 1$

Exemple

$1! = 1 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Per definició, es diu que el factorial de $0$ és $1$ , és a dir: $0! = 1$

D'altra banda, anomenem el que hi ha a continuació el nombre combinatori $n$ sobre $k$ : $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$

Exemple

Per exemple, el nombre combinatori $4$ sobre $3$ és: $(\binom{4}{2}) = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot ⧸ 2 \cdot ⧸ 1}{⧸ 2 \cdot ⧸ 1 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 2 = 6$

Com en l'exemple, per facilitar els càlculs és molt recomanable simplificar les fraccions primer de tot, perquè així s'eviten molts càlculs.