Factorial y números combinatorios

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar métodos para contar elementos de un conjunto o la forma de agrupar elementos de un conjunto.

Por ejemplo,

Ejemplo

Si hay un grupo de $5$ chicos, Alejandro, Bernardo, Carlos, David y Ernesto, de los cuales se deben elegir $2$ para realizar una tarea determinada. Ahora nos preguntamos: ¿cuántas maneras tenemos para escoger estos dos chicos?

Una elección podría ser Alejandro y Carlos, o también David y Bernardo. Pero si se tuvieran que probar todas las posibilidades a mano, ¡se tardaría mucho tiempo! No obstante, con ayuda de la combinatoria, como se verá más adelante, es muy rápido calcularlo: resulta que hay $10$ posibilidades diferentes).

Éstos son dos conceptos básicos en el análisi combinatorio, es decir, el factorial y los números combinatorios.

Llamaremos al resultado de multiplicar todos los números desde el $1$ hasta $n$ , el factorial del número $n$ . Para escribirlo se hace mediante el símbolo $n!$ . Es decir: $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 1$

Ejemplo

$1! = 1 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Por definición, se dice que el factorial de $0$ es $1$ , es decir: $0! = 1$

Por otro lado, llamamos a lo siguiente el número combinatorio $n$ sobre $k$ : $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$

Ejemplo

Por ejemplo, el número combinatorio $4$ sobre $3$ es: $(\binom{4}{2}) = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot ⧸ 2 \cdot ⧸ 1}{⧸ 2 \cdot ⧸ 1 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 2 = 6$

Como en el ejemplo, para facilitar los cálculos es muy recomendable simplificar las fracciones antes que nada, porque así se evitan muchos cálculos.