Exercicis de Inequacions de segon grau

Trobar les regions solució de les següents inequacions:

a) x2+x+1<x

b) x(1x)+2x2>1

c) (x2)(x+1)+x>(2x1)x2

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) x2+x+1<xx2+2x+1<0

Trobem les solucions de l'equació x2+2x+1=0: x=2±442=1 Tenim una única solució. En conseqüència, x2+2x+1<0(x1)2<0 No hi ha solució perquè un nombre al quadrat sempre és positiu.

b) x(1x)+2x2>1xx2+2x2+1>0

x2+3x1>0x23x+1<0

Trobem les solucions de l'equació x23x+1=0: x=3±942=3±52x1=352, x2=3+52

on x1<x2.

x23x+1<0(xx1)(xx2)<0 {a)  (xx1)>0  i  (xx2)<0b)  (xx1)<0  i  (xx2)>0 {a)  x>x1  i  x<x2b)  x<x1  i  x>x2

i com que x1<x2, tenim x1<x<x2.

c) (x2)(x+1)+x>(2x1)x2  x2+x2x2+x>2x2x2  0>2x2x2x2x+2x+2x  0>x2x

Trobem les solucions de l'equació x2x=0: 0=x2x=x(x1)x1=0  i  (x1)=0x2=1

Tenim doncs dues solucions: 0 i 1. x2x<0x(x1)<0 {x>0  i  x1<0x<1x<0  i  x1>0x>1

i veiem que les desigualtats més restrictives ens diuen que x>0 i x<1.

Solució:

a) No hi ha solució.

b) La inequació es compleix per a x que satisfan: 352<x<3+52.

c) La inequació es compleix per a x que satisfan: 0<x<1.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria