Inequacions de segon grau

Una inequació de segon grau és una inequació on trobem nombres, una variable (que anomenarem x) que aquesta vegada la podem trobar multiplicant-se a ella mateixa, i un símbol de desigualtat.

Exemple

Un exemple de inequació de segon grau podria ser: 2x2x<2x1

on podem observar que el terme 2x2 és el terme quadràtic, característic de les inequacions de segon grau, ja que si aquest no estigués, tindríem una inequació de primer grau.

Per resoldre una inequació de segon grau farem servir un mètode compost per una sèrie de passos a seguir.

Una de les coses que ens farà falta per aquest mètode és la fórmula de resolució d'equacions de segon grau que recordem a continuació:

Donada l'equació de segon grau: ax2+bx+c=0, les solucions vénen donades per la fórmula: x+=b+b24ac2ax=bb24ac2a

Pot ser que tinguem dues, una o cap solució en funció del valor del discriminant b24ac (Per a més informació consultar el tema d'Equacions de segon grau).

Mètode a seguir per a la resolució:

  • Donada la inequació, fer els canvis adequats fins a deixar un zero en un dels costats de la inequació, aconseguint una expressió del tipus: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 on els valors b i c són nombres reals que poden ser positius o negatius i fins i tot zero i a és un valor positiu. En cas de trobar un valor de a negatiu, multiplicarem per (1) tota la inequació, canviant així el signe de a (i en conseqüència, el signe dels altres termes i l'ordre de la desigualtat).

  • Buscarem les solucions de l'equació ax2+bx+c=0, induïda per la inequació ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.

  • Pot ser que tinguem tres opcions:

    • Si no tenim solucions de l'equació, hem de separar dos casos:

      • Si ax2+bx+c>0: La solució és qualsevol valor real: tots els números compleixen la inequació.
      • Si ax2+bx+c<0: Cap valor de x compleix la inequació, per tant, la inequació no té solució.

      Si ens dibuixem la gràfica de y=ax2+bx+c observarem que no talla l'eix X, ja que l'equació no té solucions. Com que a més el valor de a és positiu, tota la gràfica es troba per sobre de l'eix X, amb valors y positius, per tant, si la inequació té signe major que (o major o igual que), qualsevol punt és solució de la inequació, i si té signe menor que (o menor o igual que), cap punt serà solució.

    • Si només tenim una solució, farem:

      • Si teníem la inequació ax2+bx+c>0, i realitzem el procediment: ax2+bx+c>0(xx1)2>0(xx1)(xx1)>0 {(xx1)<0x<x1(xx1)>0x>x1

        Hem de considerar els dos últims casos vàlids ja que un producte de dos nombres és positiu si aquests dos són alhora positius o negatius.

        Així que la solució de la inequació seran els x que compleixin x<x1 i x>x1 on x1 és la solució de l'equació ax2+bx+c=0.

        En cas que tinguéssim una desigualtat del tipus ax2+bx+c0, a banda de les mateixes solucions que consideràvem abans, afegiríem la solució x1 i el resultat seria tenir com a regió solució tota la recta real.

      • Si teníem la inequació ax2+bx+c<0, farem: ax2+bx+c<0(xx1)2<0 No tenim solució Ja que un nombre elevat al quadrat sempre serà positiu, i estem exigint que sigui negatiu.

        En cas que tinguéssim una desigualtat del tipus ax2+bx+c0, llavors tindríem una solució, justament la solució de l'equació x1.

    • Si tenim dues solucions, x1 i x2, considerant a més que x1<x2, farem el següent procediment:

      (Recordem que el valor de a sempre és positiu)

      • Si ax2+bx+c>0: ax2+bx+c>0(xx1)(xx2)>0 {a)  (xx1)>0  i  (xx2)>0b)  (xx1)<0  i  (xx2)<0 {a)  x>x1  i  x>x2b)  x<x1  i  x<x2

        i com hem suposat que x1<x2, ens quedem amb les desigualtats x<x2 i x<x1.

      • Si ax2+bx+c<0: ax2+bx+c<0(xx1)(xx2)<0 {a)  (xx1)>0  i  (xx2)<0b)  (xx1)<0  i  (xx2)>0 {a)  x>x1  i  x<x2b)  x<x1  i  x>x2 i com hem suposat que x1<x2, ens quedem amb les desigualtats x<x2 i x<x1.
  • Un cop haguem trobat la regió on es compleix la inequació, ja hem acabat.

Recordeu que en l'algorisme de resolució només hem emprat desigualtats estrictes (menor que, major que), però el mateix raonament serveix per desigualtats del tipus major o igual que i menor o igual que.

A continuació veurem un exemple de cada tipus:

Exemple

x2+x+2>1x

Resolució: x2+x+2>1xx2+2x+1>0

Trobem les solucions de l'equació x2+2x+1=0: x=2±442=1 Hi ha una única solució.

Seguint l'esquema que hem donat, la solució és x<1 i x>1, és a dir, tots els punts menys 1.

Exemple

x2+2<12x

Resolució: x2+2<12xx2+2x+1<0

Trobem les solucions de l'equació x2+2x+1=0: x=2±442=1 Hi ha una única solució.

Seguint l'esquema que hem donat, no tenim solucions possibles.

Exemple

x(x1)x<1

Resolució: x(x1)x<1x2+xx+1<0x2+1<0x21>0

Trobem les solucions de l'equació x21=0: x=±1

Com que tenim dues solucions, la solució del problema (seguint les indicacions) és x<1 i x>1.