Introducció i propietats de les inequacions

Una inequació és una expressió del tipus: $$2x+3>4$$

on la lletra $x$ simbolitza una quantitat a determinar i tota l'expressió es podria llegir com: "Busquem una quantitat tal que si la multipliquem per dos i li sumem tres, el resultat és més gran que quatre".

En les inequacions, a part dels números i les incògnites (les $x$), podem trobar els següents símbols:

• $=\to$ Igual.
• $>\to$ Més gran que.
• $<\to$ Menor que.
• $⩾\to$ Més gran o igual que.
• $⩽\to$ Menor o igual que.

Amb aquests símbols podem denotar les inequacions i també les desigualtats.

Per tant:

• Una desigualtat és una expressió algebraica en què es fa la comparació de dos o més valors numèrics.

• Una inequació és una expressió algebraica en què es fa la comparació de dos valors, on podem trobar una variable (la anomenarem $x$) i es pretén que aquesta sigui resolta i així poder trobar els valors possibles de $x$ tal que compleixi la inequació.

En conseqüència, podem elaborar expressions del tipus:

(1) $2=2$

(2) $3>0>-1$

(3) $-2<5$

(4) $4⩾4$

(5) $x-1⩽1$

on les podem transcriure com:

(1) dos és igual a dos.

(2) tres és més gran que zero que al seu torn és més gran que menys u.

(3) menys dos és menor que cinc.

(4) quatre és major o igual que quatre.

(5) $x$ menys u és menor o igual que u.

En aquest cas (1), (2), (3) i (4) són desigualtats i (5) és una inequació.

Fixem-nos que les expressions (1), (2), (3) i (4) són certes (l'expressió (5) no és certa ni falsa, s'ha de determinar per quins valors de $x$ l'expressió és certa).

Propietats bàsiques

Observem algunes de les propietats de les desigualtats (i de les inequacions). Anem a veure dues propietats bàsiques que compleixen les desigualtats i per tant les inequacions.

Per a aquest propòsit denotarem les lletres $A$, $B$ i $C$ com tres números qualssevol.

• Propietat 1: Els números $A$ i $B$ sempre compleixen una de les següents afirmacions:
  • $A<B$
  • $A=B$
  • $A>B$

• Propietat 2: Aquesta propietat es refereix a la simetria de les inequacions o desigualtats:
  • Si $A<B\Rightarrow B>A$
  • Si $A>B\Rightarrow B<A$

(Nota: el símbol $\Rightarrow$ simbolitza "llavors". Per exemple, $A<B\Rightarrow B>A$, direm que si $A$ és menor que $B$ llavors $B$ és més gran que $A$).