Introducción y propiedades de las inecuaciones

Una inecuación es una expresión del tipo: $$2x+3>4$$

donde la letra $x$ simboliza una cantidad a determinar y toda la expresión se podría leer como: "Buscamos una cantidad tal que si la multiplicamos por dos y le sumamos tres, el resultado es mayor que cuatro".

En las inecuaciones, aparte de los números y las incógnitas (las $x$), podemos encontrar los siguientes símbolos:

• $=\to$ Igual.
• $>\to$ Mayor que.
• $<\to$ Menor que.
• $⩾\to$ Mayor o igual que.
• $⩽\to$ Menor o igual que.

Con estos símbolos podemos denotar las inecuaciones y también las desigualdades.

Por consiguiente:

• Una desigualdad es una expresión algebraica en la que se hace la comparación de dos o más valores numéricos.

• Una inecuación es una expresión algebraica en la que se hace la comparación de dos valores, donde podemos encontrar una variable (la llamaremos $x$) y se pretende que ésta sea resuelta y así poder encontrar los valores posibles de $x$ tal que cumpla la inecuación.

En consecuencia, podemos elaborar expresiones del tipo:

(1) $2=2$

(2) $3>0>-1$

(3) $-2<5$

(4) $4⩾4$

(5) $x-1⩽1$

donde las podemos transcribir como:

(1) dos es igual a dos.

(2) tres es mayor que cero que a su vez es mayor que menos uno.

(3) menos 2 es menor que cinco.

(4) cuatro es mayor o igual que cuatro.

(5) $x$ menos uno es menor o igual que uno.

En este caso (1), (2), (3) y (4) son desigualdades y (5) es una inecuación.

Fijémonos en que las expresiones (1), (2), (3) y (4) son ciertas (la expresión (5) no es cierta ni falsa, se tiene que determinar para qué valores de $x$ la expresión és cierta).

Propiedades básicas

A continuación vamos a observar algunas de las propiedades de las desigualdades (y de las inecuaciones). Vamos a ver dos propiedades básicas que cumplen las desigualdades y por consiguiente las inecuaciones.

Para este propósito denotaremos las letras $A$, $B$ y $C$ como tres números cualesquiera.

• Propiedad 1: Los números $A$ y $B$ siempre cumplen una de las siguientes afirmaciones:
  • $A<B$
  • $A=B$
  • $A>B$

• Propiedad 2: Esta propiedad se refiere a la simetría de las inecuaciones o desigualdades:
  • Si $A<B\Rightarrow B>A$
  • Si $A>B\Rightarrow B<A$

(Nota: el símbolo $\Rightarrow$ simboliza "entonces". Por ejemplo, $A<B\Rightarrow B>A$, diremos que si $A$ es menor que $B$ entonces $B$ es mayor que $A$).