Inequacions de primer grau

Una inequació és una expressió algebraica formada per nombres, una variable que anomenarem $x$ i un símbol de desigualtat.

Exemple

Exemples d'inequacions serien:

$x < 2$
$4 x + 2 ⩾ - 1$
$- x > - 3 + 2 x$

Diríem en aquests casos que la inequació 1 ja estaria resolta, ja que si $x$ pren valors menors que $2$ sempre es complirà la desigualtat, i que les inequacions 2 i 3 s'haurien resoldre, és a dir, trobar per a quins valors de $x$ es compleixen les inequacions respectives.

Solució d'una inequació

Donada una inequació, considerarem que l'hem resolt quan trobem una expressió del tipus $x < a$ , $x > a$ , $x ⩽ a$ o $x ⩾ a$ , on $a$ denota un número concret. Al trobar aquesta expressió ja podrem dir que perquè la inequació sigui certa, $x$ ha de complir la condició trobada i considerarem que hem resolt la inequació.

A continuació podem veure exemples de solucions d'inequacions: $x < 2, x > 3, x ⩽ - 1, x ⩾ 6$

També serien exemples de solucions: $2 < x, - 1 ⩾ x$

ja que per la propietat de simetria de les desigualtats, són equivalents a $x > 2, x ⩽ - 1$

Resolució d'inequacions

De la mateixa manera que s'aprèn a resoldre equacions de primer grau, anem a aprendre ara a resoldre inequacions de primer grau.

El mètode per resoldre aquestes inequacions és el mateix que per resoldre equacions, tot i que hi ha petites variacions.

Per començar, veiem l'analogia que hi ha entre resoldre una equació de primer grau i una inequació de primer grau:

Exemple

Prendrem l'equació $2 (x - 5) = 2$ i la inequació $2 (x - 5) ⩾ 2$ .

Resolem l'equació: $2 (x - 5) = 2 \Rightarrow 2 x - 10 = 2 \Rightarrow 2 x = 2 + 10 \Rightarrow 2 x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{2} \Rightarrow x = 6$

i diem que la solució és $x = 6$ .

D'altra banda, resolguem la inequació: $2 (x - 5) ⩾ 2 \Rightarrow 2 x - 10 ⩾ 2 \Rightarrow 2 x ⩾ 2 + 10 \Rightarrow 2 x ⩾ 12 \Rightarrow x ⩾ \frac{12}{2} \Rightarrow x ⩾ 6$

i diem que la solució és $x ⩾ 6$ , és a dir, $x$ pot prendre qualsevol valor que sigui major o igual a sis.

Fixem-nos que el mètode de resolució ha estat el mateix per als dos problemes, llavors, on es diferencia el procés de resolució d'una inequació i una equació?

Per respondre a aquesta pregunta vegem com es comporten les desigualtats respecte a l'addicció (sumar) i sostracció (restar) i a la multiplicació i divisió per un nombre.

Addicció i substracció

Suposem que $A$ , $B$ i $C$ són tres números qualssevol, llavors:

si $A < B \Rightarrow {\begin{cases} A + C < B + C \\ A - C < B - C \end{cases}$

si $A > B \Rightarrow {\begin{cases} A + C > B + C \\ A - C > B - C \end{cases}$

Com veiem, podem sumar o restar un mateix valor a cada costat de la desigualtat sense tenir problemes amb el símbol de la desigualtat.

Aquesta propietat ja ens era coneguda en el tema de les equacions, ja que podíem sumar o restar un mateix valor a cada costat de la igualtat.

El que ens permet aquesta propietat és sumar i restar un mateix valor a cada costat d'una desigualtat d'una inequació, podent així aïllar la variable $x$ en un costat de la inequació.

Exemple

Donada la inequació $x + 3 < 4$ , anem a resoldre: $x + 3 < 4 \Rightarrow x + 3 - 3 < 4 - 3 \Rightarrow x < 4 - 3 \Rightarrow x < 1$

Multiplicació i divisió

En multiplicar i dividir per un valor una inequació pot que provoqui un canvi de símbol en la desigualtat: de menor que a més gran que o al revés (igual amb més petit o igual que i a l'inrevés).

Suposem doncs que $A$ , $B$ i $C$ són tres números qualssevol, llavors:

Si $C$ és positiu i $A < B$ llavors $A \cdot C < B \cdot C$ i $\frac{A}{C} < \frac{B}{C}$ (La desigualtat no canvia).
Si $C$ és positiu i $A > B$ llavors $A \cdot C > B \cdot C$ i $\frac{A}{C} > \frac{B}{C}$ (La desigualtat no canvia).
Si $C$ és negatiu i $A < B$ llavors $A \cdot C > B \cdot C$ i $\frac{A}{C} > \frac{B}{C}$ (La desigualtat canvia d'ordre).
Si $C$ és negatiu i $A > B$ llavors $A \cdot C < B \cdot C$ i $\frac{A}{C} < \frac{B}{C}$ (La desigualtat canvia d'ordre).

El perquè hi ha un canvi en l'ordre de la desigualtat si multipliquem i dividim per un nombre negatiu ho veurem clarament en un exemple:

Exemple

Prenguem $A = 2$ i $B = 3$ (tenim $A < B$ perquè $2 < 3$ ), llavors, multipliquem per $(- 1)$ i obtenim: $\begin{array}{l} 2 \cdot (- 1) = - 2 \\ 3 \cdot (- 1) = - 3 \end{array}} \Rightarrow - 2 < - 3 FALS, - 2 > - 3 CERT$

i veiem que hem hagut de canviar l'ordre de la desigualtat perquè l'expressió continuï sent certa.

Aquesta propietat ens permetrà multiplicar i dividir per un mateix valor als dos costats d'una inequació (molt semblant a com ho fèiem amb les equacions), i així podrem aïllar la nostra variable $x$ sense problemes en un dels costats de la inequació.

Exemple

Donada la inequació $3 x < 6$ , anem a resoldre: $3 x < 6 \Rightarrow \frac{3 x}{3} < \frac{6}{3} \Rightarrow x < \frac{6}{3} \Rightarrow x < 2$

Exemple

Donada la inequació $- 2 x < 4$ , anem a resoldre: $- 2 x < 4 \Rightarrow \frac{- 2 x}{- 2} > \frac{4}{- 2} \Rightarrow x > \frac{4}{- 2} \Rightarrow x > - 2$

Ara que ja sabem com sumar i restar, multiplicar i dividir els dos costats d'una inequació per un valor concret, ja som capaços de resoldre qualsevol inequació de primer grau.