Inequacions de primer grau

Una inequació és una expressió algebraica formada per nombres, una variable que anomenarem $$x$$ i un símbol de desigualtat.

Exemples d'inequacions serien:

  1. $$x < 2$$

  2. $$4x+2\geqslant -1$$

  3. $$-x > -3+2x$$

Diríem en aquests casos que la inequació 1 ja estaria resolta, ja que si $$x$$ pren valors menors que $$2$$ sempre es complirà la desigualtat, i que les inequacions 2 i 3 s'haurien resoldre, és a dir, trobar per a quins valors de $$x$$ es compleixen les inequacions respectives.

Solució d'una inequació

Donada una inequació, considerarem que l'hem resolt quan trobem una expressió del tipus $$x < a$$, $$x > a$$, $$x\leqslant a$$ o $$x\geqslant a$$, on $$a$$ denota un número concret. Al trobar aquesta expressió ja podrem dir que perquè la inequació sigui certa, $$x$$ ha de complir la condició trobada i considerarem que hem resolt la inequació.

A continuació podem veure exemples de solucions d'inequacions: $$$x < 2, \ x > 3, \ x\leqslant -1, \ x\geqslant 6$$$

També serien exemples de solucions: $$$2 < x, \ -1\geqslant x$$$

ja que per la propietat de simetria de les desigualtats, són equivalents a $$$x > 2, \ x\leqslant -1$$$

Resolució d'inequacions

De la mateixa manera que s'aprèn a resoldre equacions de primer grau, anem a aprendre ara a resoldre inequacions de primer grau.

El mètode per resoldre aquestes inequacions és el mateix que per resoldre equacions, tot i que hi ha petites variacions.

Per començar, veiem l'analogia que hi ha entre resoldre una equació de primer grau i una inequació de primer grau:

Prendrem l'equació $$2(x-5)=2$$ i la inequació $$2(x-5)\geqslant 2$$.

Resolem l'equació: $$$ 2(x-5)=2 \Rightarrow 2x-10=2 \Rightarrow 2x=2+10 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow x=\dfrac{12}{2} \Rightarrow x=6 $$$

i diem que la solució és $$x=6$$.

D'altra banda, resolguem la inequació: $$$ 2(x-5)\geqslant2 \Rightarrow 2x-10\geqslant2 \Rightarrow 2x\geqslant2+10 \Rightarrow 2x\geqslant12 \Rightarrow x\geqslant\dfrac{12}{2} \Rightarrow x\geqslant6 $$$

i diem que la solució és $$x\geqslant6 $$, és a dir, $$x$$ pot prendre qualsevol valor que sigui major o igual a sis.

Fixem-nos que el mètode de resolució ha estat el mateix per als dos problemes, llavors, on es diferencia el procés de resolució d'una inequació i una equació?

Per respondre a aquesta pregunta vegem com es comporten les desigualtats respecte a l'addicció (sumar) i sostracció (restar) i a la multiplicació i divisió per un nombre.

Addicció i substracció

Suposem que $$A$$, $$B$$ i $$C$$ són tres números qualssevol, llavors:

si $$A < B \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A+C < B+C \\ A-C < B-C \end{array} \right. $$

si $$A > B \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A+C > B+C \\ A-C > B-C \end{array} \right. $$

Com veiem, podem sumar o restar un mateix valor a cada costat de la desigualtat sense tenir problemes amb el símbol de la desigualtat.

Aquesta propietat ja ens era coneguda en el tema de les equacions, ja que podíem sumar o restar un mateix valor a cada costat de la igualtat.

El que ens permet aquesta propietat és sumar i restar un mateix valor a cada costat d'una desigualtat d'una inequació, podent així aïllar la variable $$x$$ en un costat de la inequació.

Donada la inequació $$x+3 < 4$$, anem a resoldre: $$$ x+3 < 4 \Rightarrow x+3-3 < 4-3 \Rightarrow x < 4-3 \Rightarrow x < 1 $$$

Multiplicació i divisió

En multiplicar i dividir per un valor una inequació pot que provoqui un canvi de símbol en la desigualtat: de menor que a més gran que o al revés (igual amb més petit o igual que i a l'inrevés).

Suposem doncs que $$A$$, $$B$$ i $$C$$ són tres números qualssevol, llavors:

  • Si $$C$$ és positiu i $$A < B$$ llavors $$A\cdot C < B\cdot C \ $$ i $$ \ \dfrac{A}{C} < \dfrac{B}{C}$$ (La desigualtat no canvia).

  • Si $$C$$ és positiu i $$A > B$$ llavors $$A\cdot C > B\cdot C \ $$ i $$ \ \dfrac{A}{C} > \dfrac{B}{C}$$ (La desigualtat no canvia).

  • Si $$C$$ és negatiu i $$A < B$$ llavors $$A\cdot C > B\cdot C \ $$ i $$ \ \dfrac{A}{C} > \dfrac{B}{C}$$ (La desigualtat canvia d'ordre).

  • Si $$C$$ és negatiu i $$A > B$$ llavors $$A\cdot C < B\cdot C \ $$ i $$ \ \dfrac{A}{C} < \dfrac{B}{C}$$ (La desigualtat canvia d'ordre).

El perquè hi ha un canvi en l'ordre de la desigualtat si multipliquem i dividim per un nombre negatiu ho veurem clarament en un exemple:

Prenguem $$A = 2$$ i $$B = 3$$ (tenim $$A < B$$ perquè $$2 < 3$$), llavors, multipliquem per $$(-1)$$ i obtenim: $$$\left. \begin{array}{l} 2\cdot (-1)=-2 \\ 3\cdot (-1) =-3 \end{array} \right\} \Rightarrow -2<-3 \ \text{ FALS, } \ -2 > -3 \ \text{ CERT}$$$

i veiem que hem hagut de canviar l'ordre de la desigualtat perquè l'expressió continuï sent certa.

Aquesta propietat ens permetrà multiplicar i dividir per un mateix valor als dos costats d'una inequació (molt semblant a com ho fèiem amb les equacions), i així podrem aïllar la nostra variable $$x$$ sense problemes en un dels costats de la inequació.

Donada la inequació $$3x < 6$$, anem a resoldre: $$$ 3x < 6 \Rightarrow \dfrac{3x}{3} < \dfrac{6}{3} \Rightarrow x < \dfrac{6}{3} \Rightarrow x < 2$$$

Donada la inequació $$-2x < 4$$, anem a resoldre: $$$ -2x < 4 \Rightarrow \dfrac{-2x}{-2} > \dfrac{4}{-2} \Rightarrow x > \dfrac{4}{-2} \Rightarrow x > -2$$$

Ara que ja sabem com sumar i restar, multiplicar i dividir els dos costats d'una inequació per un valor concret, ja som capaços de resoldre qualsevol inequació de primer grau.