Introducció als intervals

Vegem els següents conjunts de nombres: A={xR | 2<x<5} B={xR | 2x5} C={xR | 2<x5} D={xR | 2x<5}

Noteu que els quatre conjunts contenen només els punts que estan entre 2 i 5 amb les excepcions possibles de 2 i/o 5. Aquests conjunts s'anomenen intervals i els números 2 i 5 són els extrems de cada interval.

D'altra banda, A és un interval obert ja que no conté els extrems, B és un interval tancat, ja que conté ambdós extrems i els conjunts C i D no són ni oberts ni tancats, ja que contenen un dels dos extrems.

Com els intervals apareixen amb molta freqüència a les matemàtiques, s'empra generalment una notació abreujada per designar intervals. Per exemple, els intervals anteriors denoten per A=(2,5)=]2,5[ B=[2,5] C=(2,5]=]2,5] D=[2,5)=[2,5[

Propietats dels intervals

Sigui R la família de tots els intervals de la recta real. S'inclouen en R el conjunt buit i els punts a=[a,a]. Tenen llavors els intervals les propietats següents:

  1. La intersecció de dos intervals és un interval, és a dir, A,BRABR.

  2. La unió de dos intervals no disjunts és un interval, és a dir, A,BR i ABABR.

  3. La diferència de dos intervals no comparables és un interval, és a dir, A,BR i A,B no comparables ABR.

Intervals infinits

Els conjunts de la forma A={x | x>1} B={x | x0} C={x | xR} s'anomenen intervals infinits i se'ls denota també per A=(1,) B=(,0) C=(,)

Conjunts acotats i no acotats

Sigui A un conjunt de nombres, es diu que A és un conjunt acotat si A és un subconjunt d'un interval finit. Una definició equivalent d'acotació és "El conjunt A és acotat si hi ha un nombre positiu M, tal que |x|M, xA". Un conjunt es diu no acotat si no existeix aquesta cota M.