Vegem els següents conjunts de nombres: $$$A=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 < x < 5 \}$$$ $$$B=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 \leq x \leq 5 \}$$$ $$$C=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 < x \leq 5 \}$$$ $$$D=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 \leq x < 5 \}$$$
Noteu que els quatre conjunts contenen només els punts que estan entre $$2$$ i $$5$$ amb les excepcions possibles de $$2$$ i/o $$5$$. Aquests conjunts s'anomenen intervals i els números $$2$$ i $$5$$ són els extrems de cada interval.
D'altra banda, $$A$$ és un interval obert ja que no conté els extrems, $$B$$ és un interval tancat, ja que conté ambdós extrems i els conjunts $$C$$ i $$D$$ no són ni oberts ni tancats, ja que contenen un dels dos extrems.
Com els intervals apareixen amb molta freqüència a les matemàtiques, s'empra generalment una notació abreujada per designar intervals. Per exemple, els intervals anteriors denoten per $$$A=(2,5)=]2,5[$$$ $$$B=[2,5]$$$ $$$C=(2,5]=]2,5]$$$ $$$D=[2,5)=[2,5[$$$
Propietats dels intervals
Sigui $$\mathbb{R}$$ la família de tots els intervals de la recta real. S'inclouen en $$\mathbb{R}$$ el conjunt buit $$\emptyset$$ i els punts $$a = [a,a]$$. Tenen llavors els intervals les propietats següents:
-
La intersecció de dos intervals és un interval, és a dir, $$A,B \in \mathbb{R}\Rightarrow A\cap B\in\mathbb{R}$$.
-
La unió de dos intervals no disjunts és un interval, és a dir, $$A,B \in \mathbb{R}$$ i $$A\cap B\neq\emptyset \Rightarrow A\cup B\in\mathbb{R}$$.
- La diferència de dos intervals no comparables és un interval, és a dir, $$A,B \in \mathbb{R}$$ i $$A, B$$ no comparables $$\Rightarrow A-B\in\mathbb{R}$$.
Intervals infinits
Els conjunts de la forma $$$A=\{x \ | \ x > 1 \}$$$ $$$B=\{x \ | \ x \leq 0 \}$$$ $$$C=\{x \ | \ x \in\mathbb{R}\}$$$ s'anomenen intervals infinits i se'ls denota també per $$$A=(1,\infty)$$$ $$$B=(-\infty,0)$$$ $$$C=(-\infty,\infty)$$$
Conjunts acotats i no acotats
Sigui $$A$$ un conjunt de nombres, es diu que $$A$$ és un conjunt acotat si $$A$$ és un subconjunt d'un interval finit. Una definició equivalent d'acotació és "El conjunt $$A$$ és acotat si hi ha un nombre positiu $$M$$, tal que $$|x|\leq M, \ \forall x\in A$$". Un conjunt es diu no acotat si no existeix aquesta cota $$M$$.