Exercicis de Límit d'una successió

Desenvolupament:

a) Com que el grau del polinomi del numerador és menor que el del denominador el límit és $$0$$.

b) El grau del polinomi del numerador és més gran que el del denominador i en aquest cas la successió tendeix a infinit. Per calcular el signe mirem el signe del quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. Aquest quocient correspon a $$\dfrac{4}{6}$$ que és positiu. Per tant el límit de la successió és $$+\infty$$.

c) Com que els graus del polinomi del numerador i el del denominador són iguals, el límit correspon al quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. En aquest cas el coeficient de grau major del numerador és $$7$$ i el del denominador és $$-2$$. Així el límit de la successió és $$-\dfrac{7}{2}$$.

d) La successió correspon a la successió $$a_n=b^n$$ amb $$b=-\dfrac{5}{3}$$. Com $$-\dfrac{5}{3} \leq -1$$ la successió no té límit.

Solució:

a) El límit de la successió és $$0$$.

b) La successió tendeix a $$+\infty$$.

c) El límit de la successió és $$-\dfrac{7}{2}$$.

d) La successió no té límit.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Seguint la notació introduïda, fixat un m natural volem trobar un $$N$$ natural de manera que es compleixi $$\Big|\dfrac{1}{n^k}-0 \Big| < \dfrac{1}{m}$$ per a tot $$n > N$$.

Equivalentment $$m < n^k$$ i per tant cal $$m^{1/k} < n$$.

En aquest últim pas és on fem servir $$k > 0$$ ja que en un altre cas hauríem de girar el signe de la desigualtat. Per tant, com elecció de $$N$$ podem triar qualsevol $$N > m^{1/k}$$.

Solució:

Seguint la notació presentada, fixat un $$m$$ enter hem d'escollir $$N$$ com un enter que compleixi $$N > m^{1/k}$$.

Amagar desenvolupament i solució