Exercicis de Límit d'una successió

Desenvolupament:

a) Com que el grau del polinomi del numerador és menor que el del denominador el límit és $0$.

b) El grau del polinomi del numerador és més gran que el del denominador i en aquest cas la successió tendeix a infinit. Per calcular el signe mirem el signe del quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. Aquest quocient correspon a ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ que és positiu. Per tant el límit de la successió és $+\mathrm{\infty }$.

c) Com que els graus del polinomi del numerador i el del denominador són iguals, el límit correspon al quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. En aquest cas el coeficient de grau major del numerador és $7$ i el del denominador és $-2$. Així el límit de la successió és $-{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

d) La successió correspon a la successió $a_n=b^n$ amb $b=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$. Com $-{\displaystyle \frac{5}{3}}\le -1$ la successió no té límit.

Solució:

a) El límit de la successió és $0$.

b) La successió tendeix a $+\mathrm{\infty }$.

c) El límit de la successió és $-{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

d) La successió no té límit.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Seguint la notació introduïda, fixat un m natural volem trobar un $N$ natural de manera que es compleixi $|{\displaystyle \frac{1}{n^k}}-0|<{\displaystyle \frac{1}{m}}$ per a tot $n>N$.

Equivalentment $m<n^k$ i per tant cal $m^{1/k}<n$.

En aquest últim pas és on fem servir $k>0$ ja que en un altre cas hauríem de girar el signe de la desigualtat. Per tant, com elecció de $N$ podem triar qualsevol $N>m^{1/k}$.

Solució:

Seguint la notació presentada, fixat un $m$ enter hem d'escollir $N$ com un enter que compleixi $N>m^{1/k}$.

Amagar desenvolupament i solució