Ejercicios de Límite de una sucesión

Desarrollo:

Siguiendo la notación introducida, fijado un $m$ natural queremos encontrar un $N$ natural de manera que se cumpla $|{\displaystyle \frac{1}{n^k}}-0|<{\displaystyle \frac{1}{m}}$ para todo $n>N$.

Equivalentemente $m<n^k$ y por tanto hace falta $m^{1/k}<n$.

En este último paso es donde utilizamos $k>0$ ya que en otro caso deberíamos girar el signo de la desigualdad.

Por tanto, como elección de $N$ podemos elegir cualquier $N>m^{1/k}$.

Solución:

Siguiendo la notación presentada, fijado un $m$ entero debemos escoger $N$ como un entero que cumpla $N>m^{1/k}$.

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Desarrollo:

a) Como el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador el límite es $0$.

b) El grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador y en este caso la sucesión tiende a infinito. Para calcular el signo miramos el signo del cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. Este cociente corresponde a ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ que es positivo. Por tanto el límite de la sucesión es $+\mathrm{\infty }$.

c) Como los grados del polinomio del numerador y el del denominador son iguales, el límite corresponde al cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. En este caso el coeficiente de grado mayor del numerador es $7$ y el del denominador es $-2$. Así el límite de la sucesión es $-{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

d) La sucesión corresponde a la sucesión $a_n=b^n$ con $b=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$. Como $-{\displaystyle \frac{5}{3}}\le -1$ la sucesión no tiene límite.

Solución:

a) El límite de la sucesión es $0$.

b) La sucesión tiende a $+\mathrm{\infty }$.

c) El límite de la sucesión es $-{\displaystyle \frac{7}{2}}$.

d) La sucesión no tiene límite.

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