Exercicis de Matriu inversa per determinants

Desenvolupament:

Definim la matriu $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ -1& 1& 1\\ 0& -1& -2\end{array}\right)$

Anem a utilitzar el mètode per determinants

1) Calculem el determinant (utilitzem la regla de Sarrus):

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ -1& 1& 1\\ 0& -1& -2\end{array}\right|=(1\cdot 1\cdot -2)+(-1\cdot -1\cdot -2)+(0)-0-(1\cdot -1\cdot 1)-0=-3$

2) Es calcula la matriu adjunta

$A^{adj}=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\end{array}\right|& +\dots \\ -\dots & +\dots & -\dots \\ +\dots & -\dots & +\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 1\\ -2& -2& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$

3) Transposem la matriu adjunta

$(A^{adj}{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 2\\ -2& -2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

4) Calculem la matriu inversa:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{|A|}}\cdot (A^{adj}{)}^t={\displaystyle \frac{1}{-3}}\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 2\\ -2& -2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 2& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)$

Solució:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 2& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)$

En dividir pel determinant és imprescindible que el determinant d'$A$ no sigui nul.

Aquesta és la condició que ha de tenir la matriu $A$ per ser invertible.

Amagar desenvolupament i solució