Matriu inversa per determinants

Hi ha un mètode alternatiu per al càlcul de la matriu inversa al mètode de Gauss. Aquest és molt menys intuïtiu, i pot ser molt més llarg que l'anterior. De tota manera sempre es pot recórrer a ell per ser més directe.

Recordem que donada una matriu $$A$$, la seva inversa $$A^{-1}$$ és tal que compleix el següent:

$$$A\cdot A^{-1}=I$$$

on $$I$$ és la matriu identitat, amb tots els sus elements nuls excepte 1's a la diagonal principal.

La matriu inversa, la podeu calcular de la manera següent:

$$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(A^{adj})^t$$$

La notació és:

$$A^{-1} \rightarrow$$ Matriu inversa

$$|A| \rightarrow$$ Determinant

$$A^{adj} \rightarrow$$ Matriu adjunta

$$A^t \rightarrow$$ Matriu transposada

Quina és la matriu inversa de la següent matriu?

$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$$

1) Calculeu el determinant:

$$$|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|=-1$$$

2) Calculeu la matriu adjunta

$$$A^{adj}=\left(\begin{array}{ccc} +\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| & +\ldots \\ -\ldots & +\ldots & -\ldots \\ +\ldots & -\ldots & +\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$$

3) Transposa la matriu adjunta

$$$(A^{adj})^t=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$$

que casualment no varia.

4) Es calcula la matriu inversa

$$$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\cdot\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$