Existe un método alternativo para el cálculo de la matriz inversa al método de Gauss. Éste es mucho menos intuitivo, y puede ser mucho más largo pero de todas formas siempre puede recurrirse a él por ser más directo.
Recordemos que dada una matriz $$A$$, su inversa $$A^{-1}$$ es tal que cumple lo siguiente:
$$$A\cdot A^{-1}=I$$$
donde $$I$$ es la matriz identidad, con todos sus elementos nulos excepto 1'os en la diagonal principal.
La matriz inversa puede calcularse como sigue:
$$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(Adj(A))^t$$$
La notación es:
$$A^{-1} \rightarrow$$ Matriz inversa
$$|A| \rightarrow$$ Determinante
$$Adj(A) \rightarrow$$ Matriz adjunta
$$A^t \rightarrow$$ Matriz traspuesta
¿Cual es la matriz inversa de la siguiente matriz?
$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$$
1) Calcúlese el determinante:
$$$|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|=-1$$$
2) Calcúlese la matriz adjunta
$$$Adj(A)=\left(\begin{array}{ccc} +\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| & +\ldots \\ -\ldots & +\ldots & -\ldots \\ +\ldots & -\ldots & +\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$$
3) Trasponemos la matriz adjunta
$$$(Adj(A))^t=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$$
que casualmente no varia.
4) Se calcula la matriz inversa
$$$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\cdot\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$