El cálculo de la matriz inversa es una herramienta indispensable del álgebra lineal.
Dada una matriz $$A$$, su inversa $$A^{-1}$$ es tal que cumple lo siguiente:
$$$A\cdot A^{-1}=I$$$
donde $$I$$ es la matriz identidad, con todos sus elementos nulos excepto $$1$$ en la diagonal principal.
Sea la matriz:
$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$$
Como se encuentra la matriz inversa según el método de Gauss?
1) Se añade la matriz identidad a la matriz $$A$$.
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$
(Véase $$I=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$)
2) Mediante el método de Gauss se pretende pasar la matriz identidad a la izquierda. Lo que quede en el lado derecho será la matriz inversa. Es decir, se quiere conseguir
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 1 & 0 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ }\\ 0 & 0 & 1 & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$$
Lo que resulte en los espacios vacíos será la matriz inversa $$A^{-1}$$.
¿Cual es la matriz inversa de la siguiente matriz?
$$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$$
Se debe seguir el procedimiento paso a paso.
1) En primer lugar se añade la matriz identidad a la derecha de la matriz originaria:
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$
2) Se tiene que "transportar" la matriz identidad a la izquierda mediante el método de Gauss.
Este método requiere cierta intuición, pues no es una receta exacta. De todas formas la intuición puede suplirse con la práctica y el método de Gauss acaba resultando mucho más cómodo de lo que parece en un principio.
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila1)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila3+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila2-fila3)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow (fila1+fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$
Finalmente se multiplica la $$fila2$$ por $$(-1)$$ y ya tenemos la identidad a la izquierda.
$$$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \rightarrow ((-1)\cdot fila2)\rightarrow \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$
Y se identifica:
$$$A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$$
Comprobación:
Se recomienda hacer la comprobación después del cálculo, pues los errores suelen ser frecuentes. Para tal efecto se utiliza la propia definición de matriz inversa:
$$$A\cdot A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$
Efectivamente se demuestra:
$$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$$