Exercicis de Maximització i minimització

Es desitja obtenir tres elements químics a partir de les substàncies A i B. Un quilo d'A conté $8$ grams del primer element, $1$ gram del segon i $2$ del tercer. Un quilo de B té $4$ grams del primer element, $1$ gram del segon i $2$ del tercer. Es desitja obtenir almenys $16$ grams del primer element i les quantitats del segon i del tercer han de ser com a molt $5$ i $20$ grams respectivament, i a més la quantitat d'A és com a molt el doble que la de B.

Calculeu els quilos d'A i els de B que han de prendre's perquè el cost sigui mínim tenint en compte que un quilo d'A val $Math input error$ i un de B $Math input error$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Variables del problema:

$x$ : quilos de la substància A.

$y$ : quilos de la substància B.

Funció objectiu:

S'ha de minimitzar el cost (cost $=$ (preu del quilo de la substància A) $\times$ (preu del quilo d'A) $+$ (preu del quilo de la substància B) $\times$ (preu del quilo de B)): $C (x, y) = 20 \cdot x + 100 \cdot y$

Restriccions:

$x ⩾ 0$ , $y ⩾ 0$ (el nombre de quilos no pot ser negatiu).
$8 x + 4 y ⩾ 16$ (com a mínim hem d'aconseguir $16$ g de la primera substància).
$x + y ⩽ 5$ (com a màxim s'han d'obtenir $5$ g de la segona substància).
$2 \cdot x + 2 \cdot y ⩽ 20$ (com a màxim s'han d'obtenir $20$ g de la tercera substància).
$x ⩽ 2 \cdot y$ (la quantitat de la substància A és com a molt el doble de la de B).

Vèrtexs de la regió de validesa: (Són els punts de tall entre les rectes associades a les restriccions, que a més compleixen totes les inequacions. Vegeu que la restricció $2 \cdot x + 2 \cdot y ⩽ 20$ no aporta informació rellevant, és a dir, no delimita la regió de validesa.)

$(0, 4)$ on tallen les restriccions $x ⩾ 0$ i $8 x + 4 y ⩾ 16$ .
$(0, 5)$ on tallen les restriccions $x ⩾ 0$ i $x + y ⩽ 5$ .
$(\frac{10}{3}, \frac{5}{3})$ on tallen les restriccions $x + y ⩽ 5$ i $x ⩽ 2 \cdot y$ .
$(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$ on tallen les restriccions $8 x + 4 y ⩾ 16$ i $x ⩽ 2 \cdot y$ .

Valor de la funció objectiu en els vèrtexs de la zona de validesa:

$C (0, 4) = 20 \cdot 0 + 100 \cdot 4 = 400$
$C (0, 5) = 20 \cdot 0 + 100 \cdot 5 = 500$
$C (\frac{10}{3}, \frac{5}{3}) = 20 \cdot \frac{10}{3} + 100 \cdot \frac{5}{3} = \frac{700}{3} \approx 233.33$
$C (\frac{8}{5}, \frac{4}{5}) = 20 \cdot \frac{8}{5} + 100 \cdot \frac{4}{5} = \frac{560}{5} = 112$

La funció cost pren el seu valor mínim ( $112$ €) en el punt $(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$ , és a dir, en comprar $\frac{8}{5}$ de quilo de la substància A i $\frac{4}{5}$ de quilo de la B.

Solució:

Per aconseguir minimitzar el cost, atenint-nos a les restriccions del problema, s'han de comprar $\frac{8}{5}$ de quilo de la substància A i $\frac{4}{5}$ de quilo de la B. En aquest cas el cost seria de $112$ €.

Amagar desenvolupament i solució