Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene $$8$$ gramos del primer elemento, $$1$$ gramo del segundo y $$2$$ del tercero; un kilo de B tiene $$4$$ gramos del primer elemento, $$1$$ gramo del segundo y $$2$$ del tercero. Si se desea obtener al menos $$16$$ gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho $$5$$ y $$20$$ gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule los kilos de A y y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale $$20$$ € y uno de B $$100$$ €.
Desarrollo:
Variables del problema:
$$x$$: kilos de la sustancia A.
$$y$$: kilos de la sustancia B.
Función objetivo:
Se ha de minimizar el coste (coste $$=$$ (precio del kilo de la sustancia A) $$\times$$ (precio del kilo de A) $$+$$ (precio del kilo de la sustancia B) $$\times$$ (precio del kilo de B)): $$$C(x,y)=20\cdot x+100\cdot y$$$
Restricciones:
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$$x\geqslant 0$$, $$y\geqslant 0$$ (el número de kilos no puede ser negativo).
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$$8x+4y\geqslant 16$$ (como mínimo tenemos que conseguir $$16$$ g de la primera sustancia).
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$$x+y\leqslant 5$$ (como máximo tenemos que obtener $$5$$ g de la segunda sustancia).
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$$2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$$ (como máximo tenemos que obtener $$20$$ g de la tercera sustancia).
- $$x\leqslant 2\cdot y$$ (la cantidad de la sustancia A es como mucho el doble de la de B).
Vértices de la región de validez: (Son los puntos de corte entre las rectas asociadas a las restricciones, que además cumplen todas las inecuaciones. Véase que la restricción $$2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$$ no aporta información relevante, es decir, no delimita la región de validez.)
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$$(0,4)$$ donde cortan las restricciones $$x\geqslant 0$$ y $$8x+4y\geqslant 16$$.
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$$(0,5)$$ donde cortan las restricciones $$x\geqslant 0$$ y $$x+y\leqslant 5$$.
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$$(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})$$ donde cortan las restricciones $$x+y\leqslant 5$$ y $$x\leqslant 2\cdot y$$.
- $$(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})$$ donde cortan las restricciones $$8x+4y\geqslant 16$$ y $$x\leqslant 2\cdot y$$.
Valor de la función objetivo en los vértices de la zona de validez:
- $$C(0,4)=20\cdot 0+100\cdot 4=400$$
- $$C(0,5)=20\cdot 0+100\cdot 5=500$$
- $$C(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})=20\cdot \dfrac{10}{3}+100\cdot \dfrac{5}{3}=\dfrac{700}{3}\approx 233.33$$
- $$C(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})=20\cdot \dfrac{8}{5}+100\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{560}{5}=112$$
La función coste toma su valor mínimo ($$112$$ €) en el punto $$ (\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}) $$, es decir, al comprar $$\dfrac{8}{5}$$ de kilo de la sustancia A y $$\dfrac{4}{5}$$ de kilo de la B.
Solución:
Para conseguir minimizar el coste, ateniéndonos a las restricciones del problema, se han de comprar $$\dfrac{8}{5}$$ de kilo de la sustancia A y $$\dfrac{4}{5}$$ de kilo de la B. En este caso el coste sería de $$112$$ €.