Ejercicios de Maximización y minimización

Desarrollo:

Variables del problema:

$x$: kilos de la sustancia A.

$y$: kilos de la sustancia B.

Función objetivo:

Se ha de minimizar el coste (coste $=$ (precio del kilo de la sustancia A) $\times$ (precio del kilo de A) $+$ (precio del kilo de la sustancia B) $\times$ (precio del kilo de B)): $$C(x,y)=20\cdot x+100\cdot y$$

Restricciones:

• $x⩾0$, $y⩾0$ (el número de kilos no puede ser negativo).

• $8x+4y⩾16$ (como mínimo tenemos que conseguir $16$ g de la primera sustancia).

• $x+y⩽5$ (como máximo tenemos que obtener $5$ g de la segunda sustancia).

• $2\cdot x+2\cdot y⩽20$ (como máximo tenemos que obtener $20$ g de la tercera sustancia).

• $x⩽2\cdot y$ (la cantidad de la sustancia A es como mucho el doble de la de B).

Vértices de la región de validez: (Son los puntos de corte entre las rectas asociadas a las restricciones, que además cumplen todas las inecuaciones. Véase que la restricción $2\cdot x+2\cdot y⩽20$ no aporta información relevante, es decir, no delimita la región de validez.)

• $(0,4)$ donde cortan las restricciones $x⩾0$ y $8x+4y⩾16$.

• $(0,5)$ donde cortan las restricciones $x⩾0$ y $x+y⩽5$.

• $({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})$ donde cortan las restricciones $x+y⩽5$ y $x⩽2\cdot y$.

• $({\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})$ donde cortan las restricciones $8x+4y⩾16$ y $x⩽2\cdot y$.

Valor de la función objetivo en los vértices de la zona de validez:

• $C(0,4)=20\cdot 0+100\cdot 4=400$
• $C(0,5)=20\cdot 0+100\cdot 5=500$
• $C({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})=20\cdot {\displaystyle \frac{10}{3}}+100\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{700}{3}}\approx 233.33$
• $C({\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})=20\cdot {\displaystyle \frac{8}{5}}+100\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{560}{5}}=112$

La función coste toma su valor mínimo ($112$ €) en el punto $({\displaystyle \frac{8}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})$, es decir, al comprar ${\displaystyle \frac{8}{5}}$ de kilo de la sustancia A y ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ de kilo de la B.

Solución:

Para conseguir minimizar el coste, ateniéndonos a las restricciones del problema, se han de comprar ${\displaystyle \frac{8}{5}}$ de kilo de la sustancia A y ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ de kilo de la B. En este caso el coste sería de $112$ €.

Ocultar desarrollo y solución