Exercicis de Mètode Lagrange

Determina el valor de f(π3) on f(x)=sin(x) sabent els següents valors de la funció:

x 0 π6 π2
sin(x) 0 12 1

i dóna una cota de l'error.

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Tenim n+1=3 punts, per tant n=2. El polinomi de Lagrange s'escriu:

P2(x)=f0l0(x)+f1l1(x)+f2l2(x)=0l0(x)+12l1(x)+1l2(x)=12l1(x)+l2(x)

Calculem l1(x) i l2(x):

l1(x)=(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)=(x0)(xπ2)(π60)(π6π2)=x2π2xπ6(π3)=18π2x2+9πxl2(x)=(xx0)(xx1)(x2x0)(x2x1)=(x0)(xπ6)(π20)(π2π6)=x2π6xπ2(π3)=6π2x21πx

Substituint els valors trobats:

P2(x)=12l1(x)+l2(x)=12(18π2x2+9πx)+6π2x21πx=9π2x2+92πx+6π2x21πx=3π2x2+72πx

D'aquesta manera:

sin(π3)=f(π3)P2(π3)=56=0.8333

Per calcular la cota de l'error, ens cal saber f(n+1)(x)=f(3)(x). En el nostre cas,

f(3)(x)=cos(x)|f(3)(x)|=|cos(x)|1

Per tant:

|f(π3)P2(π3)|16π3π6π6=π648=0.0470.5101

Solució:

sin(π3)=0.8333 i |error|0.05

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria