Mètode Lagrange

Prendrem:

Pn(x)=k=0nfklk(x)

on lk(x)=ik(xxi)ik(xkxi)= =(xx0)(xx1)(xxk)^(xxn)(xkx0)(xkx1)(xkxk)^(xkxn)

on el barret indica que no apareix aquest terme en el producte.

És a dir, en el numerador multipliquem per tots els polinomis de grau 1 excepte el k-èsim i després dividim pel producte de totes les diferències excepte la k-èsima.Efectivament, si avaluem el polinomi en algun dels xk, obtenim el valor fk.

Al polinomi calculat d'aquesta manera se l'anomena polinomi de Lagrange.

Exemple

Anem a veure un exemple per tenir més clar. Considerem la taula de valors:

xk 1 2 4 5
fk 0 2 12 21

i volem calcular el valor f(3) a partir d'interpolació. Tenim doncs n+1=4 punts, per tant n=3, la interpolació serà cúbica. El polinomi s'escriu:

P3(x)=f0l0(x)+f1l1(x)+f2l2(x)+f3l3(x)=

=2l1(x)+12l2(x)+21l3(x)

Hem de calcular ara els polinomis de Lagrange associats,

l0(x)=(xx1)(xx2)(xx3)(x0x1)(x0x2)(x0x3)=(x2)(x4)(x5)(12)(14)(15)=112(40+38x11x2+x3)l1(x)=(xx0)(xx2)(xx3)(x1x0)(x1x2)(x1x3)=(x1)(x4)(x5)(21)(24)(25)=16(20+29x10x2+x3)l2(x)=(xx0)(xx1)(xx3)(x2x0)(x2x1)(x2x3)=(x1)(x2)(x5)(41)(42)(45)=16(10+17x8x2+x3)l3(x)=(xx0)(xx1)(xx2)(x3x0)(x3x1)(x3x2)=(x1)(x2)(x4)(51)(52)(54)=112(8+14x7x2+x3)

Així doncs el polinomi interpolador és:

P3(x)=2l1(x)+12l2(x)+21l3(x)=112(8+2x+5x2+x3)

D'aquesta manera f(3)=356=5.8333