Método de Lagrange

Tomaremos:

$P_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} \cdot l_{k} (x)$

donde $l_{k} (x) = \frac{\prod_{i \neq k} (x - x_{i})}{\prod_{i \neq k} (x_{k} - x_{i})} =$ $= \frac{(x - x_{0}) \cdot (x - x_{1}) \dots \hat{(x - x_{k})} \dots (x - x_{n})}{(x_{k} - x_{0}) \cdot (x_{k} - x_{1}) \dots \hat{(x_{k} - x_{k})} \dots (x_{k} - x_{n})}$

donde el sombrero indica que no aparece este término en el producto.

Es decir, en el numerador multiplicamos por todos los polinomios de grado $1$ excepto el $k$ -ésimo y después dividimos por el producto de todas las diferencias excepto la $k$ -ésima. Efectivamente, si evaluamos el polinomio en alguno de los $x_{k}$ , obtenemos el valor $f_{k}$ .

Al polinomio calculado de esta manera se le llama polinomio de Lagrange.

Ejemplo

Vamos a ver un ejemplo para tenerlo más claro. Consideremos la tabla de valores:

$x_{k}$	$1$	$2$	$4$	$5$
$f_{k}$	$0$	$2$	$12$	$21$

y queremos calcular el valor $f (3)$ aa partir de interpolación. Tenemos pues $n + 1 = 4$ puntos, por lo tanto $n = 3$ , la interpolación será cúbica. El polinomio se escribe:

$P_{3} (x) = f_{0} \cdot l_{0} (x) + f_{1} \cdot l_{1} (x) + f_{2} \cdot l_{2} (x) + f_{3} \cdot l_{3} (x) =$

$= 2 \cdot l_{1} (x) + 12 \cdot l_{2} (x) + 21 \cdot l_{3} (x)$

Tenemos que calcular ahora los polinomios de Lagrange asociados,

$\begin{aligned} l_{0} (x) = & \frac{(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3})}{(x_{0} - x_{1}) \cdot (x_{0} - x_{2}) \cdot (x_{0} - x_{3})} \\ = & \frac{(x - 2) \cdot (x - 4) \cdot (x - 5)}{(1 - 2) \cdot (1 - 4) \cdot (1 - 5)} = \frac{- 1}{12} (- 40 + 38 x - 11 x^{2} + x^{3}) \\ l_{1} (x) = & \frac{(x - x_{0}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3})}{(x_{1} - x_{0}) \cdot (x_{1} - x_{2}) \cdot (x_{1} - x_{3})} \\ = & \frac{(x - 1) \cdot (x - 4) \cdot (x - 5)}{(2 - 1) \cdot (2 - 4) \cdot (2 - 5)} = \frac{1}{6} (- 20 + 29 x - 10 x^{2} + x^{3}) \\ l_{2} (x) = & \frac{(x - x_{0}) \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{3})}{(x_{2} - x_{0}) \cdot (x_{2} - x_{1}) \cdot (x_{2} - x_{3})} \\ = & \frac{(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)}{(4 - 1) \cdot (4 - 2) \cdot (4 - 5)} = \frac{- 1}{6} (- 10 + 17 x - 8 x^{2} + x^{3}) \\ l_{3} (x) = & \frac{(x - x_{0}) \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})}{(x_{3} - x_{0}) \cdot (x_{3} - x_{1}) \cdot (x_{3} - x_{2})} \\ = & \frac{(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)}{(5 - 1) \cdot (5 - 2) \cdot (5 - 4)} = \frac{1}{12} (- 8 + 14 x - 7 x^{2} + x^{3}) \end{aligned}$

Así pues el polinomio interpolador es:

$P_{3} (x) = 2 \cdot l_{1} (x) + 12 \cdot l_{2} (x) + 21 \cdot l_{3} (x) = \frac{1}{12} (- 8 + 2 x + 5 x^{2} + x^{3})$

De esta forma, $f (3) = \frac{35}{6} = 5.8333 \dots$