Dados $$n +1$$ puntos $$(x_k,f_k)$$ con $$k\in\{0,1,\dots,n\}\ $$ y $$\ x_k\neq x_i \ $$ si $$\ i\neq k$$, llamamos interpolación polinómica a determinar un polinomio de grado menor o igual que $$n$$ tal que $$p(x_k)=f_k \ $$ para todo $$\ k$$.
Este polinomio siempre existe y es único.
A veces calcularemos el polinomio que interpola un conjunto de datos. Otras veces, los valores $$f_k$$ corresponderan al valor de una cierta función $$f(x)$$ en los puntos $$x_k$$. Es decir, en lugar de trabajar con la propia función nos es más cómodo trabajar con un polinomio suficientemente parecido. Pero, ¿cuánto es de parecido el polinomio interpolador a la función original? Esto lo cuantifica el error de interpolación:
$$$ \text{error}=|f(x)-P_n(x)|=$$$ $$$=\Big| \dfrac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}(x-x_0)\cdot(x-x_1) \cdots (x-x_n)\Big|$$$
donde $$\xi$$ es un punto perteneciente al intervalo generado por todos los puntos $$x_k$$.
Cabe decir, que la función debe ser derivable $$n +1$$ veces como mínimo.
Como ya hemos dicho, el polinomio es único, pero existen varios métodos para calcularlos.