Interpolación polinómica: definición

Dados $n+1$ puntos $(x_k,f_k)$ con $k\in \{0,1,\dots ,n\}$ y $x_k\ne x_i$ si $i\ne k$, llamamos interpolación polinómica a determinar un polinomio de grado menor o igual que $n$ tal que $p(x_k)=f_k$ para todo $k$.

Este polinomio siempre existe y es único.

A veces calcularemos el polinomio que interpola un conjunto de datos. Otras veces, los valores $f_k$ corresponderan al valor de una cierta función $f(x)$ en los puntos $x_k$. Es decir, en lugar de trabajar con la propia función nos es más cómodo trabajar con un polinomio suficientemente parecido. Pero, ¿cuánto es de parecido el polinomio interpolador a la función original? Esto lo cuantifica el error de interpolación:

$$\text{error}=|f(x)-P_n(x)|=$$ $$=|{\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi (x))}{(n+1)!}}(x-x_0)\cdot (x-x_1)\cdots (x-x_n)|$$

donde $\xi$ es un punto perteneciente al intervalo generado por todos los puntos $x_k$.

Cabe decir, que la función debe ser derivable $n+1$ veces como mínimo.

Como ya hemos dicho, el polinomio es único, pero existen varios métodos para calcularlos.