Calcula el límit de la suma, resta, multiplicació i divisió, quan sigui possible, dels següents parells de successions:
a) $$a_n=\dfrac{n^3-3}{n-6}$$ i $$b_n=\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}$$
b) $$a_n=2+3^n$$ i $$b_n=\dfrac{1}{5^n}$$
Desenvolupament:
a) El límit de les dues successions és infinit i per les regles aritmètiques definides tenim que el límit de la suma i el del producte també és infinit. Per calcular el límit de la resta i del quocient hem de resoldre la indeterminació. Per al límit de la resta: $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}-\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)-(3n^4-7)(n-6)}{(n-6)(3n^2+n-1)}\Big)}=$$$ $$$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{19n^4-n^3-9n^2+4n-39}{3n^3-5n^2-7n+6}\Big)}=\infty$$$
Per al límit del quocient: $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}/\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)}{(n-6)(3n^4-7)}\Big)}=$$$ $$$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{3n^5+n^4-n^3-9n^2-3n+3}{3n^5-18n^4-7n+42}\Big)}=1$$$
b) El límit de $$a_n=2+3^n$$ és infinit i el límit de $$b_n=\dfrac{1}{5^n}$$ és 0. Seguint les regles aritmètiques, el límit de la suma i resta també és infinit.
Per calcular el límit del producte: $$$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)\cdot\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2}{5^n}}+\lim_{n \to \infty}{\dfrac{3^n}{5^n}}=0+0=0$$$
Per calcular el límit del quocient: $$$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)/\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{2\cdot5^n}+\lim_{n \to \infty}{3^n\cdot5^n}=\infty+\infty=\infty$$$
Solució:
a) El límit de la suma, resta i multiplicació és infinit. El límit del quocient és $$1$$.
b) El límit de la suma, resta i quocient és infinit. El límit del producte és $$0$$.