Exercicis de Operacions i límits entre successions

Desenvolupament:

a) El límit de les dues successions és infinit i per les regles aritmètiques definides tenim que el límit de la suma i el del producte també és infinit. Per calcular el límit de la resta i del quocient hem de resoldre la indeterminació. Per al límit de la resta: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n^3-3}{n-6}}-{\displaystyle \frac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{(n^3-3)(3n^2+n-1)-(3n^4-7)(n-6)}{(n-6)(3n^2+n-1)}})=$$ $$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{19n^4-n^3-9n^2+4n-39}{3n^3-5n^2-7n+6}})=\mathrm{\infty }$$

Per al límit del quocient: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n^3-3}{n-6}}/{\displaystyle \frac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{(n^3-3)(3n^2+n-1)}{(n-6)(3n^4-7)}})=$$ $$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{3n^5+n^4-n^3-9n^2-3n+3}{3n^5-18n^4-7n+42}})=1$$

b) El límit de $a_n=2+3^n$ és infinit i el límit de $b_n={\displaystyle \frac{1}{5^n}}$ és 0. Seguint les regles aritmètiques, el límit de la suma i resta també és infinit.

Per calcular el límit del producte: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+3^n)\cdot {\displaystyle \frac{1}{5^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2}{5^n}}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{3^n}{5^n}}=0+0=0$$

Per calcular el límit del quocient: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+3^n)/{\displaystyle \frac{1}{5^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2\cdot 5^n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{3}^n\cdot 5^n=\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$$

Solució:

a) El límit de la suma, resta i multiplicació és infinit. El límit del quocient és $1$.

b) El límit de la suma, resta i quocient és infinit. El límit del producte és $0$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) La successió ve donada pel producte de les successions $a_n=(-1{)}^n$ i $b_n={\displaystyle \frac{(2n+3)}{9n^3-11n+3}}$.

La primera està fitada i la segona té límit $0$. Aplicant el resultat presentat obtenim que el producte té límit $0$.

b) En aquest cas no podem aplicar el resultat usat a l'apartat anterior directament. Farem servir que el límit de la suma és la suma de límits. És a dir, $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n{n}^2}{4n^3-8}}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{7n^3+21}{4n^3-8}}$$

Ara podem aplicar el resultat comentat al primer límit. Ja que correspon al producte de les successions $\{(-1{)}^n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ i $\{{\displaystyle \frac{7n^3+21}{4n^3-8}}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

Llavors el primer límit de la suma és $0$. El segon límit és ${\displaystyle \frac{7}{4}}$.

Així obtenim el resultat desitjat $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n={\displaystyle \frac{7}{4}}$.

Solució:

a) El límit és $0$.

b) El límit és ${\displaystyle \frac{7}{4}}$.

Amagar desenvolupament i solució