Operacions i límits entre successions

Operacions entre successions

Els nombres reals ens permeten definir les operacions de suma, resta, multiplicació i divisió. Aquestes operacions poden estendre's de manera natural al conjunt de les successions. La manera d'estendre les operacions es realitza terme a terme. Vegem les definicions corresponents.

Siguin $a = {a_{n}}_{n \in N}$ i $b = {b_{n}}_{n \in N}$ dues successions. Definim les següents successions: $a + b = {a_{n} + b_{n}}_{n \in N}$ $a - b = {a_{n} - b_{n}}_{n \in N}$ $a \cdot b = {a_{n} \cdot b_{n}}_{n \in N}$

També podem definir la successió $\frac{a}{b}$ com ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}_{n \in N}$ , però en aquest cas s'ha d'exigir $b_{n} \neq 0$ perquè la divisió estigui definida.

Vegem algun exemple perquè no quedi cap dubte.

Exemple

Siguin $a = {n}_{n \in N}$ i $b = {\frac{1}{n}} n \in N$ . Llavors, $a + b = {n + \frac{1}{n}}_{n \in N} = {\frac{n^{2} + 1}{n}}_{n \in N}$ $a - b = {n - \frac{1}{n}}_{n \in N} = {\frac{n^{2} - 1}{n}}_{n \in N}$ $a \cdot b = {n \cdot \frac{1}{n}}_{n \in N} = {1}_{n \in N}$ $a / b = {\frac{n}{1 / n}}_{n \in N} = {n^{2}}_{n \in N}$

Límits i operacions amb successions convergents

És natural ara preguntar-se com es comporta el límit de successions respecte de les operacions. En aquest sentit, el límit actua de la manera més senzilla possible quan les successions són convergents.

$lim_{n \to \infty} {(a \pm b)}_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n} \pm lim_{n \to \infty} b_{n}$ $lim_{n \to \infty} {(a \cdot b)}_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot lim_{n \to \infty} b_{n}$ $lim_{n \to \infty} {(a / b)}_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n} / lim_{n \to \infty} b_{n}$

Aquesta última propietat requereix $lim_{n \to \infty} b_{n} \neq 0$ .

Aquestes propietats ens permeten el càlcul de límits a través de límits ja coneguts. Més útil és encara la següent proposició: El límit del producte d'una successió fitada per una altra amb límit zero té límit zero.

Vegem un exemple d'aquesta proposició.

Exemple

Considerem la successió $a_{n} = (- 1)^{n}$ , recordem que aquesta successió no té límit però està fitada, i la successió $b_{n} = \frac{1}{n}$ , que té límit $0$ . Segons la proposició anterior el producte de les dues successions té límit $0$ . És a dir $lim_{n \to \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} = 0$

Límits i operacions en general

Si acceptem algunes regles aritmètiques amb l'infinit llavors podem estendre les regles anteriors a successions divergents.

Sigui $a$ un nombre real, definim les següents operacions: $a \pm \infty = \pm \infty$ $\infty + \infty = \infty$ $- \infty - \infty = - \infty$ $\frac{a}{+ \infty} = 0$ $\infty \cdot (- \infty) = (- \infty) \cdot \infty = - \infty$ $\infty \cdot \infty = (- \infty) \cdot (- \infty) = \infty$

Si a més a més $a > 0$ definim $a \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot a = \pm \infty$

I si $a < 0$

$a \cdot \infty = \infty \cdot a = - \infty$
$a \cdot (- \infty) = (- \infty) \cdot a = \infty$

Aquestes regles aritmètiques estenen les operacions entre límits de successions siguin tant convergents com divergents.

Vegem alguns exemples.

Exemple

Siguin $a = {n}_{n \in N}$ i $b = {\frac{2 n + 1}{n}} n \in N$ .

Comprovem les regles anteriors per a l'operació d'aquestes successions. Per a la suma i resta $lim_{n \to \infty} (n \pm \frac{2 n + 1}{n}) = lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2} \pm 2 n \pm 1}{n}) = \infty$ $lim_{n \to \infty} n \pm lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} = \infty \pm 2 = \infty$

Per al producte $lim_{n \to \infty} (n \cdot \frac{2 n + 1}{n}) = lim_{n \to \infty} (2 n + 1) = \infty$ $lim_{n \to \infty} n \cdot lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} = \infty \cdot 2 = \infty$

Per a la divisió $\frac{a}{b}$ $lim_{n \to \infty} (n / \frac{2 n + 1}{n}) = lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2}}{2 n + 1}) = \infty$ $lim_{n \to \infty} n / lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} = \frac{\infty}{2} = \infty$

Per a la divisió $\frac{b}{a}$ $lim_{n \to \infty} (\frac{2 n + 1}{n} / n) = lim_{n \to \infty} (\frac{2 n + 1}{n^{2}}) = 0$ $lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} / lim_{n \to \infty} n = \frac{2}{\infty} = 0$

Indeterminacions

Les regles aritmètiques anteriors permeten definir la majoria d'operacions entre límits de successions. Si ens fixem, estan descrites totes les operacions possibles excepte $\infty - \infty$ , $\frac{\pm \infty}{\infty}$ i $0 \cdot (\pm \infty)$ . La lògica ens fa pensar que els resultats han de ser $0$ , $\pm 1$ i $0$ respectivament.

Anem a comprovar que això no és cert en general.

Considerem les successions amb terme general $n + 1$ i $n$ . Ambdues tenen límit infinit però vegem el límit de la diferència.

$lim_{n \to \infty} (n + 1 - n) = lim_{n \to \infty} 1 = 1$

Considerant les successions amb terme general $2 n$ i $n$ veiem com el límit del quocient no és $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{n} = lim_{n \to \infty} 2 = 2$

Per al darrer cas escollim les successions amb terme general $n$ i $\frac{1}{n}$ . Veiem que el límit del producte és $1$ .

$lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n} = lim_{n \to \infty} 1 = 1$

Aquestes operacions poden donar qualsevol nombre o bé infinit.

Per resoldre aquestes indeterminacions no hi ha un mètode genèric i s'ha d'estudiar cas a cas. Per als casos on les successions són quocient de polinomis és suficient manipular les expressions fins a trobar una expressió com a quocient de dos polinomis i aplicar la teoria ja coneguda.

Vegem un exemple més complet que els anteriors.

Exemple

Considerem les successions $a = {\frac{n^{2}}{n + 1}}_{n \in N}$ i $b = {\frac{2 n^{2}}{n - 1}}_{n \in N}$ , ambdues amb límit infinit.

Calculem el límit de $a - b$ :

$lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2}}{n + 1} - \frac{2 n^{2}}{n - 1} / n) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} (n - 1) - 2 n^{2} (n + 1)}{(n + 1) (n - 1)} = lim_{n \to \infty} \frac{- n^{3} - 3 n^{2}}{n^{2} - 1} = - \infty$

A la primera igualtat hem posat denominador comú i en la segona simplificat l'expressió.

Calculem el límit de $\frac{a}{b}$ :

$lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2}}{n + 1} / \frac{2 n^{2}}{n - 1} / n) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} (n - 1)}{2 n^{2} (n + 1)} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{3} - n^{2}}{2 n^{3} + 2 n^{2}} = \frac{1}{2}$

La primera igualtat correspon a realitzar el producte creuat i la segona a simplificar l'expressió.

Vegem també el següent exemple:

Exemple

Les successions $a = {\frac{n^{2} - 3}{n}}_{n \in N}$ i $b = {\frac{5 n^{2}}{7 n^{3} - n}}_{n \in N}$ amb límits infinit i zero respectivament. Calculem el límit del producte $a \cdot b$ :

$lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2} - 3}{n} \cdot \frac{5 n^{2}}{7 n^{3} - n}) = lim_{n \to \infty} \frac{5 n^{4} - 15 n^{2}}{7 n^{4} - n^{2}} = \frac{5}{7}$