Operacions entre successions
Els nombres reals ens permeten definir les operacions de suma, resta, multiplicació i divisió. Aquestes operacions poden estendre's de manera natural al conjunt de les successions. La manera d'estendre les operacions es realitza terme a terme. Vegem les definicions corresponents.
Siguin $$a=\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ i $$b=\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ dues successions. Definim les següents successions: $$$a+b=\{a_n+b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a-b=\{a_n-b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a\cdot b=\{a_n\cdot b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$$
També podem definir la successió $$\dfrac{a}{b}$$ com $$\Big\{\dfrac{a_n}{b_n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$, però en aquest cas s'ha d'exigir $$b_n\neq0$$ perquè la divisió estigui definida.
Vegem algun exemple perquè no quedi cap dubte.
Siguin $$a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ i $$b=\{\dfrac{1}{n} \}{n\in\mathbb{N}}$$. Llavors, $$$a+b=\Big\{n+\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2+1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a-b=\Big\{n-\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2-1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a\cdot b=\Big\{n\cdot\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a/b=\Big\{\dfrac{n}{1/n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{n^2\}_{n\in\mathbb{N}}$$$
Límits i operacions amb successions convergents
És natural ara preguntar-se com es comporta el límit de successions respecte de les operacions. En aquest sentit, el límit actua de la manera més senzilla possible quan les successions són convergents.
$$$\lim_{n \to \infty}{(a\pm b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\pm\lim_{n \to \infty}{b_n}$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{(a\cdot b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\cdot\lim_{n \to \infty}{b_n}$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{(a/b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}/\lim_{n \to \infty}{b_n}$$$
Aquesta última propietat requereix $$\lim_{n \to \infty}{b_n}\neq0$$.
Aquestes propietats ens permeten el càlcul de límits a través de límits ja coneguts. Més útil és encara la següent proposició: El límit del producte d'una successió fitada per una altra amb límit zero té límit zero.
Vegem un exemple d'aquesta proposició.
Considerem la successió $$a_n=(-1)^n$$, recordem que aquesta successió no té límit però està fitada, i la successió $$b_n=\dfrac{1}{n}$$, que té límit $$0$$. Segons la proposició anterior el producte de les dues successions té límit $$0$$. És a dir $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{(-1)^n}{n}}=0$$$
Límits i operacions en general
Si acceptem algunes regles aritmètiques amb l'infinit llavors podem estendre les regles anteriors a successions divergents.
Sigui $$a$$ un nombre real, definim les següents operacions: $$$a\pm\infty=\pm\infty$$$ $$$\infty+\infty=\infty$$$ $$$-\infty-\infty=-\infty$$$ $$$\dfrac{a}{+\infty}=0$$$ $$$\infty\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot\infty=-\infty$$$ $$$\infty\cdot\infty=(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty$$$
Si a més a més $$a > 0$$ definim $$a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\pm\infty$$
I si $$a < 0$$
- $$a\cdot\infty=\infty\cdot a=-\infty$$
- $$a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=\infty$$
Aquestes regles aritmètiques estenen les operacions entre límits de successions siguin tant convergents com divergents.
Vegem alguns exemples.
Siguin $$a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ i $$b=\Big\{\dfrac{2n+1}{n}\Big\}{n\in\mathbb{N}}$$.
Comprovem les regles anteriors per a l'operació d'aquestes successions. Per a la suma i resta $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\pm\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2\pm2n\pm1}{n}\Big)}=\infty$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{n}\pm\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\pm2=\infty$$$
Per al producte $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\cdot\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{(2n+1)}=\infty$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{n}\cdot\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\cdot2=\infty$$$
Per a la divisió $$\dfrac{a}{b}$$ $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(n/\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{2n+1}\Big)}=\infty$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{n}/\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\dfrac{\infty}{2}=\infty$$$
Per a la divisió $$\dfrac{b}{a}$$ $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n^2}\Big)}=0$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}/\lim_{n \to \infty}{n}=\dfrac{2}{\infty}=0$$$
Indeterminacions
Les regles aritmètiques anteriors permeten definir la majoria d'operacions entre límits de successions. Si ens fixem, estan descrites totes les operacions possibles excepte $$\infty-\infty$$, $$\dfrac{\pm\infty}{\infty}$$ i $$0\cdot(\pm\infty)$$. La lògica ens fa pensar que els resultats han de ser $$0$$, $$\pm1$$ i $$0$$ respectivament.
Anem a comprovar que això no és cert en general.
Considerem les successions amb terme general $$n+1$$ i $$n$$. Ambdues tenen límit infinit però vegem el límit de la diferència.
$$$\lim_{n \to \infty}{(n+1-n)}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$$
Considerant les successions amb terme general $$2n$$ i $$n$$ veiem com el límit del quocient no és $$1$$.
$$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n}{n}}=\lim_{n \to \infty}{2}=2$$$
Per al darrer cas escollim les successions amb terme general $$n$$ i $$\dfrac{1}{n}$$. Veiem que el límit del producte és $$1$$.
$$$\lim_{n \to \infty}{n\cdot\dfrac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$$
Aquestes operacions poden donar qualsevol nombre o bé infinit.
Per resoldre aquestes indeterminacions no hi ha un mètode genèric i s'ha d'estudiar cas a cas. Per als casos on les successions són quocient de polinomis és suficient manipular les expressions fins a trobar una expressió com a quocient de dos polinomis i aplicar la teoria ja coneguda.
Vegem un exemple més complet que els anteriors.
Considerem les successions $$a=\Big\{\dfrac{n^2}{n+1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ i $$b=\Big\{\dfrac{2n^2}{n-1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$, ambdues amb límit infinit.
Calculem el límit de $$a-b$$:
$$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)-2n^2(n+1)}{(n+1)(n-1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{-n^3-3n^2}{n^2-1}}=-\infty$$$
A la primera igualtat hem posat denominador comú i en la segona simplificat l'expressió.
Calculem el límit de $$\dfrac{a}{b}$$:
$$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}/\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)}{2n^2(n+1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-n^2}{2n^3+2n^2}}=\dfrac{1}{2}$$$
La primera igualtat correspon a realitzar el producte creuat i la segona a simplificar l'expressió.
Vegem també el següent exemple:
Les successions $$a=\Big\{\dfrac{n^2-3}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ i $$b=\Big\{\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$amb límits infinit i zero respectivament. Calculem el límit del producte $$a\cdot b$$:
$$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2-3}{n}\cdot\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{5n^4-15n^2}{7n^4-n^2}}=\dfrac{5}{7}$$$