Operaciones entre sucesiones
Los números reales nos permiten definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Estas operaciones pueden extenderse de manera natural al conjunto de las sucesiones. La manera de extender las operaciones se realiza término a término. Veamos las definiciones correspondientes.
Sean $$a=\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ y $$b=\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ dos sucesiones. Definimos las siguientes sucesiones: $$$a+b=\{a_n+b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a-b=\{a_n-b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a\cdot b=\{a_n\cdot b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$$
También podemos definir la sucesión $$\dfrac{a}{b}$$ como $$\Big\{\dfrac{a_n}{b_n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$, pero en este caso se debe exigir $$b_n\neq0$$ para que la división esté definida.
Veamos algún ejemplo para que no quede ninguna duda.
Sean $$a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ y $$b=\{\dfrac{1}{n} \}{n\in\mathbb{N}}$$. Entonces, $$$a+b=\Big\{n+\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2+1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a-b=\Big\{n-\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2-1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a\cdot b=\Big\{n\cdot\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$$$ $$$a/b=\Big\{\dfrac{n}{1/n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{n^2\}_{n\in\mathbb{N}}$$$
Límites y operaciones con sucesiones convergentes
Es natural ahora preguntarse como se comporta el límite de sucesiones respecto de las operaciones. En este sentido, el límite actúa de la manera más sencilla posible cuando las sucesiones son convergentes.
$$$\lim_{n \to \infty}{(a\pm b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\pm\lim_{n \to \infty}{b_n}$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{(a\cdot b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\cdot\lim_{n \to \infty}{b_n}$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{(a/b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}/\lim_{n \to \infty}{b_n}$$$
Esta última propiedad requiere $$\lim_{n \to \infty}{b_n}\neq0$$.
Estas propiedades nos permiten el cálculo de límites a través de límites ya conocidos. Más útil resulta aún la siguiente proposición: el límite del producto de una sucesión acotada por otra con límite cero tiene límite cero.
Veamos un ejemplo de esta proposición.
Consideramos la sucesión $$a_n=(-1)^n$$, recordamos que esta sucesión no tiene límite pero está acotada, y la sucesión $$b_n=\dfrac{1}{n}$$, que tiene límite $$0$$. Según la proposición anterior el producto de las dos sucesiones tiene limite $$0$$. Es decir $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{(-1)^n}{n}}=0$$$
Límites y operaciones en general
Si aceptamos algunas reglas aritméticas con el infinito entonces podemos extender las reglas anteriores a sucesiones divergentes. Sea $$a$$ un número real, definimos las siguientes operaciones: $$$a\pm\infty=\pm\infty$$$ $$$\infty+\infty=\infty$$$ $$$-\infty-\infty=-\infty$$$ $$$\dfrac{a}{+\infty}=0$$$ $$$\infty\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot\infty=-\infty$$$ $$$\infty\cdot\infty=(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty$$$
Si además $$a > 0$$ definimos $$a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\pm\infty$$
Y si $$a < 0$$
- $$a\cdot\infty=\infty\cdot a=-\infty$$
- $$a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=\infty$$
Estas reglas aritméticas extienden las operaciones entre límites de sucesiones sean tanto convergentes como divergentes.
Veamos algunos ejemplos.
Sean $$a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ y $$b=\Big\{\dfrac{2n+1}{n}\Big\}{n\in\mathbb{N}}$$.
Comprobamos las reglas anteriores para la operación de estas sucesiones. Para la suma y resta $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\pm\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2\pm2n\pm1}{n}\Big)}=\infty$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{n}\pm\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\pm2=\infty$$$
Para el producto $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\cdot\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{(2n+1)}=\infty$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{n}\cdot\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\cdot2=\infty$$$
Para la división $$\dfrac{a}{b}$$ $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(n/\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{2n+1}\Big)}=\infty$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{n}/\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\dfrac{\infty}{2}=\infty$$$
Para la división $$\dfrac{b}{a}$$ $$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n^2}\Big)}=0$$$ $$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}/\lim_{n \to \infty}{n}=\dfrac{2}{\infty}=0$$$
Indeterminaciones
Las reglas aritméticas anteriores permiten definir la mayoría de operaciones entre límites de sucesiones. Si nos fijamos, están descritas todas las operaciones posibles excepto $$\infty-\infty$$, $$\dfrac{\pm\infty}{\infty}$$ y $$0\cdot(\pm\infty)$$. La lógica nos hace pensar que los resultados deben ser $$0$$, $$\pm1$$ y $$0$$ respectivamente.
Vamos a comprobar que esto no es cierto en general.
Consideramos las sucesiones con término general $$n+1$$ y $$n$$. Ambas tienen límite infinito pero veamos el límite de la diferencia.
$$$\lim_{n \to \infty}{(n+1-n)}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$$
Considerando las sucesiones con término general $$2n$$ y $$n$$ vemos como el límite del cociente no es $$1$$.
$$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n}{n}}=\lim_{n \to \infty}{2}=2$$$
Para el último caso escogemos las sucesiones con término general $$n$$ y $$\dfrac{1}{n}$$. Vemos que el límite del producto es $$1$$.
$$$\lim_{n \to \infty}{n\cdot\dfrac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$$
Estas operaciones pueden dar cualquier numero o infinito.
Para resolver estas indeterminaciones no hay un método genérico y debe estudiarse caso a caso. Para los casos donde las sucesiones son cociente de polinomios es suficiente manipular las expresiones hasta encontrar una expresión como cociente de dos polinomios y aplicar la teoría ya conocida. Veamos un ejemplo más completo que los anteriores.
Consideramos las sucesiones $$a=\Big\{\dfrac{n^2}{n+1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ y $$b=\Big\{\dfrac{2n^2}{n-1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$, ambas con límite infinito.
Calculamos el límite de $$a-b$$:
$$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)-2n^2(n+1)}{(n+1)(n-1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{-n^3-3n^2}{n^2-1}}=-\infty$$$
En la primera igualdad hemos puesto denominador común y en la segunda simplificado la expresión.
Calculamos el límite de $$\dfrac{a}{b}$$:
$$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}/\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)}{2n^2(n+1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-n^2}{2n^3+2n^2}}=\dfrac{1}{2}$$$
La primera igualdad corresponde a realizar el producto cruzado y la segunda a simplificar la expresión.
Veamos también el siguiente ejemplo con la sucesiones $$a=\Big\{\dfrac{n^2-3}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ y $$b=\Big\{\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ con límites infinito y cero respectivamente.
Calculamos el límite del producto $$a\cdot b$$:
$$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2-3}{n}\cdot\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{5n^4-15n^2}{7n^4-n^2}}=\dfrac{5}{7}$$$