Los términos de una sucesión no tienen, en principio, ninguna relación ni orden. Cuando buscamos el término general de una sucesión estudiamos algunas relaciones entre los términos de las sucesiones y ahora nos centraremos en las relaciones de orden.
Dada una sucesión $$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$$ decimos que es creciente si todo elemento de la sucesión es menor que los siguientes, es decir, si $$a_n \leq a_{n+1}$$ para todo $$n$$.
Análogamente decimos que es decreciente si todo elemento de la sucesión es mayor que los siguientes, $$a_n \geq a_{n+1}$$ para todo $$n$$.
Una sucesión que sea tanto creciente como decreciente decimos que es constante, ya que entonces $$a_n=a_{n+1}$$, todos los términos son iguales.
Dada una sucesión creciente decimos que es estrictamente creciente si $$a_n < a_{n+1}$$. Y análogamente una sucesión decreciente es estrictamente decreciente si $$a_n > a_{n+1}$$.
La sucesión correspondiente a $$a_n=n$$ es claramente creciente ya que $$n < n+1$$. De hecho es estrictamente creciente.
Como ejemplo de sucesión decreciente podemos considerar la sucesión con término general $$a_n=\dfrac{1}{n}$$. Observamos que $$\dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{n+1}$$ y la sucesión es estrictamente decreciente.
Una sucesión constante es de la forma $$a_n=c$$ donde $$c$$ es un número cualquiera. Toda sucesión constante tiene esta forma.
Esta clasificación no debe ser tomada como genérica ya que dada una sucesión cualquiera no siempre es creciente o decreciente. Por ejemplo la sucesión $$(0,1,0,1,0,1,\ldots)$$ no es ni creciente ni decreciente.
Si una sucesión es creciente o decreciente entonces diremos que es monótona. Si además la sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente entonces la llamamos estrictamente monótona.
Dada una sucesión, comprobar si esta es creciente o decreciente no representa siempre un problema sencillo. Para demostrar estas propiedades, la manera más evidente es también la más útil en la mayoría de casos. Nos referimos a plantear la desigualdad de la propiedad que queramos demostrar y a través de los cálculos necesarios comprobar que es cierta para todo $$n$$. En este contexto, para comprobar si la sucesión es entonces estrictamente monótona pueden reutilizarse los cálculos ya realizados.
Veamos algunos ejemplos más completos:
Consideramos la sucesión $$a=(n^2-3n)_{n\in\mathbb{N}}$$. Vamos a ver que la sucesión es creciente. Es decir, queremos comprobar que $$$n^2-3n \leq (n+1)^2-3(n+1)$$$ Desarrollando los cuadrados tenemos $$$n^2-3n \leq n^2-n-2$$$ y por tanto, $$2\leq2n$$, lo que es cierto para todo $$n\geq1$$ y la sucesión es creciente.
Podemos ahora comprobar si la sucesión es estrictamente creciente. Repitiendo los mismos cálculos a partir de la desigualdad $$n^2-3n < (n+1)^2-3(n+1)$$ se obtendría $$2 < 2n$$, lo que es cierto solo para $$n > 1$$. Es decir, para $$n=1$$ no se cumple la desigualdad. Viendo los primeros valores de la sucesión vemos el fenómeno que se produce: $$$a=(-2,-2,0,4,10,18,\ldots)$$$
Consideramos ahora la sucesión $$b=\Big(\dfrac{n+1}{n^2}\Big)_{n\in\mathbb{N}}$$. Veamos que es decreciente. Debemos comprobar que $$$\dfrac{n+1}{n^2} \geq \dfrac{(n+1)+1}{(n+1)^2}$$$ Equivalentemente, $$$(n+1)^2\cdot(n+1)\geq (n+2)\cdot n^2$$$ Expandiendo tenemos $$$n^3+3n^2+3n+1 \geq n^3+2n^2$$$ Y se debe cumplir $$$n^2+3n+1 \geq 0$$$ Para comprobar este tipo de desigualdades es suficiente comprobar que no hay ningún número entero entre las soluciones del polinomio igualado a cero. En nuestro caso las soluciones de $$n^2+3n+1 =0$$ son aproximadamente $$-2.62$$ y $$-0.38$$. Y según el comentario anterior la desigualdad se cumple y la sucesión es decreciente.
Para comprobar si lo es estrictamente, podemos repetir los cálculos hasta obtener $$n^2+3n+1 > 0$$ a partir de la condición $$$\dfrac{n+1}{n^2} > \dfrac{(n+1)+1}{(n+1)^2}$$$ Para comprobar que la sucesión es estrictamente decreciente es suficiente ver que las raíces obtenidas anteriormente no son números naturales.