Sucesiones monótonas

Los términos de una sucesión no tienen, en principio, ninguna relación ni orden. Cuando buscamos el término general de una sucesión estudiamos algunas relaciones entre los términos de las sucesiones y ahora nos centraremos en las relaciones de orden.

Dada una sucesión $(a_{n})_{n \in N}$ decimos que es creciente si todo elemento de la sucesión es menor que los siguientes, es decir, si $a_{n} \leq a_{n + 1}$ para todo $n$ .

Análogamente decimos que es decreciente si todo elemento de la sucesión es mayor que los siguientes, $a_{n} \geq a_{n + 1}$ para todo $n$ .

Una sucesión que sea tanto creciente como decreciente decimos que es constante, ya que entonces $a_{n} = a_{n + 1}$ , todos los términos son iguales.

Dada una sucesión creciente decimos que es estrictamente creciente si $a_{n} < a_{n + 1}$ . Y análogamente una sucesión decreciente es estrictamente decreciente si $a_{n} > a_{n + 1}$ .

Ejemplo

La sucesión correspondiente a $a_{n} = n$ es claramente creciente ya que $n < n + 1$ . De hecho es estrictamente creciente.

Como ejemplo de sucesión decreciente podemos considerar la sucesión con término general $a_{n} = \frac{1}{n}$ . Observamos que $\frac{1}{n} > \frac{1}{n + 1}$ y la sucesión es estrictamente decreciente.

Una sucesión constante es de la forma $a_{n} = c$ donde $c$ es un número cualquiera. Toda sucesión constante tiene esta forma.

Esta clasificación no debe ser tomada como genérica ya que dada una sucesión cualquiera no siempre es creciente o decreciente. Por ejemplo la sucesión $(0, 1, 0, 1, 0, 1, \dots)$ no es ni creciente ni decreciente.

Si una sucesión es creciente o decreciente entonces diremos que es monótona. Si además la sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente entonces la llamamos estrictamente monótona.

Dada una sucesión, comprobar si esta es creciente o decreciente no representa siempre un problema sencillo. Para demostrar estas propiedades, la manera más evidente es también la más útil en la mayoría de casos. Nos referimos a plantear la desigualdad de la propiedad que queramos demostrar y a través de los cálculos necesarios comprobar que es cierta para todo $n$ . En este contexto, para comprobar si la sucesión es entonces estrictamente monótona pueden reutilizarse los cálculos ya realizados.

Veamos algunos ejemplos más completos:

Ejemplo

Consideramos la sucesión $a = (n^{2} - 3 n)_{n \in N}$ . Vamos a ver que la sucesión es creciente. Es decir, queremos comprobar que $n^{2} - 3 n \leq (n + 1)^{2} - 3 (n + 1)$ Desarrollando los cuadrados tenemos $n^{2} - 3 n \leq n^{2} - n - 2$ y por tanto, $2 \leq 2 n$ , lo que es cierto para todo $n \geq 1$ y la sucesión es creciente.

Podemos ahora comprobar si la sucesión es estrictamente creciente. Repitiendo los mismos cálculos a partir de la desigualdad $n^{2} - 3 n < (n + 1)^{2} - 3 (n + 1)$ se obtendría $2 < 2 n$ , lo que es cierto solo para $n > 1$ . Es decir, para $n = 1$ no se cumple la desigualdad. Viendo los primeros valores de la sucesión vemos el fenómeno que se produce: $a = (- 2, - 2, 0, 4, 10, 18, \dots)$

Ejemplo

Consideramos ahora la sucesión $b = (\frac{n + 1}{n^{2}})_{n \in N}$ . Veamos que es decreciente. Debemos comprobar que $\frac{n + 1}{n^{2}} \geq \frac{(n + 1) + 1}{(n + 1)^{2}}$ Equivalentemente, $(n + 1)^{2} \cdot (n + 1) \geq (n + 2) \cdot n^{2}$ Expandiendo tenemos $n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 \geq n^{3} + 2 n^{2}$ Y se debe cumplir $n^{2} + 3 n + 1 \geq 0$ Para comprobar este tipo de desigualdades es suficiente comprobar que no hay ningún número entero entre las soluciones del polinomio igualado a cero. En nuestro caso las soluciones de $n^{2} + 3 n + 1 = 0$ son aproximadamente $- 2.62$ y $- 0.38$ . Y según el comentario anterior la desigualdad se cumple y la sucesión es decreciente.

Para comprobar si lo es estrictamente, podemos repetir los cálculos hasta obtener $n^{2} + 3 n + 1 > 0$ a partir de la condición $\frac{n + 1}{n^{2}} > \frac{(n + 1) + 1}{(n + 1)^{2}}$ Para comprobar que la sucesión es estrictamente decreciente es suficiente ver que las raíces obtenidas anteriormente no son números naturales.