Successió monòtona

Els termes d'una successió no tenen, en principi, cap relació ni ordre. En el nivell anterior hem estudiat algunes relacions entre els termes de les successions i en aquest nivell ens centrem en les relacions d'ordre.

Donada una successió $(a_{n})_{n \in N}$ diem que és creixent si tot element de la successió és menor que els següents, és a dir, si $a_{n} \leq a_{n + 1}$ per a tot $n$ .

Anàlogament diem que és decreixent si tot element de la successió és més gran que els següents, $a_{n} \geq a_{n + 1}$ per a tot $n$ .

Una successió que sigui tant creixent com decreixent diem que és constant, ja que llavors $a_{n} = a_{n + 1}$ , tots els termes són iguals.

Donada una successió creixent diem que és estrictament creixent si $a_{n} < a_{n + 1}$ . I anàlogament una successió decreixent és estrictament decreixent si $a_{n} > a_{n + 1}$ .

Exemple

La successió corresponent a $a_{n} = n$ és clarament creixent ja que $n < n + 1$ . De fet és estrictament creixent.

Com a exemple de successió decreixent podem considerar la successió amb terme general $a_{n} = \frac{1}{n}$ . Observem que $\frac{1}{n} > \frac{1}{n + 1}$ i la successió és estrictament decreixent.

Una successió constant és de la forma $a_{n} = c$ on $c$ és un nombre qualsevol. Tota successió constant té aquesta forma.

Aquesta classificació no ha de ser presa com genèrica ja que donada una successió qualsevol no sempre és creixent o decreixent. Per exemple la successió $(0, 1, 0, 1, 0, 1, \dots)$ no és ni creixent ni decreixent.

Si una successió és creixent o decreixent llavors direm que és monòtona. Si a més la successió estrictament creixent o estrictament decreixent aleshores l'anomenem estrictament monòtona.

Donada una successió, comprovar si aquesta és creixent o decreixent no representa sempre un problema senzill. Per demostrar aquestes propietats, la manera més evident és també la més útil en la majoria de casos. Ens referim a plantejar la desigualtat de la propietat que vulguem demostrar i a través dels càlculs necessaris comprovar que és certa per a tot $n$ . En aquest context, per comprovar si la successió és llavors estrictament monòtona podem reutilitzar els càlculs ja realitzats.

Vegem alguns exemples més complets:

Exemple

Considerem la successió $a = (n^{2} - 3 n)_{n \in N}$ . Anem a veure que la successió és creixent. És a dir, volem comprovar que $n^{2} - 3 n \leq (n + 1)^{2} - 3 (n + 1)$ Desenvolupant els quadrats tenim $n^{2} - 3 n \leq n^{2} - n - 2$ i per tant $2 \leq 2 n$ , el que és cert per a tot $n \geq 1$ i la successió és creixent.

Podem ara comprovar si la successió és estrictament creixent. Repetint els mateixos càlculs a partir de la desigualtat $n^{2} - 3 n < (n + 1)^{2} - 3 (n + 1)$ s'obtindria $2 < 2 n$ , el que és cert només per $n > 1$ . És a dir, per $n = 1$ no es compleix la desigualtat. Veient els primers valors de la successió veiem el fenomen que es produeix: $a = (- 2, - 2, 0, 4, 10, 18, \dots)$

Exemple

Considerem ara la successió $b = (\frac{n + 1}{n^{2}})_{n \in N}$ . Vegem que és decreixent. Hem de comprovar que $\frac{n + 1}{n^{2}} \geq \frac{(n + 1) + 1}{(n + 1)^{2}}$ Equivalentment, $(n + 1)^{2} \cdot (n + 1) \geq (n + 2) \cdot n^{2}$ Expandint tenim $n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 \geq n^{3} + 2 n^{2}$ I s'ha de complir $n^{2} + 3 n + 1 \geq 0$ Per comprovar aquest tipus de desigualtats és suficient comprovar que no hi ha cap nombre enter entre les solucions del polinomi igualat a zero. En el nostre cas les solucions de $n^{2} + 3 n + 1 = 0$ són aproximadament $- 2.62$ i $- 0.38$ . I segons el comentari anterior la desigualtat es compleix i la successió és decreixent.

Per comprovar si ho és estrictament, podem repetir els càlculs fins a obtenir $n^{2} + 3 n + 1 > 0$ a partir de la condició $\frac{n + 1}{n^{2}} > \frac{(n + 1) + 1}{(n + 1)^{2}}$ Per comprovar que la successió és estrictament decreixent és suficient veure que les arrels obtingudes anteriorment no són nombres naturals.