Exercicis de Successió monòtona

Determina el comportament de les següents successions:

a) an=8n12n

b) bn=2n1+n2

c) cn=n2+2n1

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) La successió no és constant ja que a1=8 i a2=163.

Per comprovar si la solució és creixent o decreixent és suficient comprovar si anan+1 o anan+1, respectivament.

Vegem si és creixent. Volem comprovar si 8n12n8(n+1)1(2n+1)

Simplificant el factor 8 i multiplicant pels denominadors obtenim, observant que els denominadors són sempre negatius, n(12(n+1))(n+1)(12n) Expandint els productes tenim n2n2+12n2n

I restant el terme n2n2 obtenim 01 que és sempre cert independentment de n. Per tant la successió és creixent.

Per veure si la successió és estrictament creixent hem de comprovar si an<an+1.

Podem comprovar utilitzant els càlculs anteriors que la solució és estrictament creixent ja que els càlculs realitzats són certs si substituïm la desigualtat per la desigualtat estricta <.

b) La successió no és constant ja que b1=1 i b2=45.

Veient els dos primers termes la successió, no pot ser creixent. Vegem si la successió és estrictament decreixent. Comprovem si 2n1+n2>2(n+1)1+(n+1)2 Multiplicant pels denominadors: 2n(1+(n+1)2)>(1+n2)2(n+1) Expandint obtenim 4n+4n2+2n3>2+2n+2n2+2n3 Simplificant obtenim n2+n1>0 Calculant les dues arrels del polinomi anterior veiem que són les dues menors a 1. Per tant per a n enter major a 1 es compleix n2+n1>0 i la successió és estrictament decreixent.

c) La successió no és constant ja que c1=32 i c2=2.

Veient els dos primers termes només pot donar-se que la successió sigui estrictament decreixent. Comprovem si n2+2n1>(n+1)2+2(n+1)1 Multiplicant pels denominadors obtenim (n2)(n2+2)>(n2+2n+3)(n1) Multiplicant per 1, i per tant invertint la desigualtat i expandint obtenim: n3+2n2+2n+4<n3+3n2+5n+3 Restant obtenim la desigualtat n2+3n1>0

Calculant les arrels veiem que les dues són menors a 1 i per tant la desigualtat és certa per a tot n enter.

Per tant la successió és estrictament decreixent.

Solució:

a) La successió és estrictament creixent.

b) La successió és estrictament decreixent.

c) La successió és estrictament decreixent.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria