Successions acotades (o fitades)

Sigui $(a_{n})_{n \in N}$ una successió i $M$ un nombre real. Diem que la successió està acotada (fitada) superiorment per $M$ si tots els termes són menors a $M$ , és a dir, si $a_{n} \leq M$ per a tot $n$ .

Anàlogament, diem que la successió està acotada (fitada) inferiorment per $M$ si tots els termes són majors a $M$ , és a dir, si $a_{n} \geq M$ per a tot $n$ . Anomenem $M$ com la cota superior i inferior, de la successió, respectivament.

Exemple

Considerem la successió $a_{n} = \frac{1}{n}$ . Tenim $0 < \frac{1}{n} \leq 1$ per a tot $n$ . Per tant la successió està fitada superiorment per $1$ i inferiorment per $0$ . Observem com la fita superior forma part de la successió, $a_{1} = 1$ i per tant és la millor cota possible. Però la fita inferior no pertany al conjunt. Això ens podria fer pensar que no és la millor cota possible. Vegem que no és així.

Suposem que $M$ és la millor fita inferior no nul·la. Com que $M > 0$ podem considerar un enter $n$ major que $\frac{1}{M}$ . Llavors $\frac{1}{n} < M$ el que contradiu la nostra hipòtesi sobre $M$ .

De qualsevol manera, en molts casos és suficient trobar una cota encara que aquesta no sigui la millor possible. De fet, si una successió està fitada superiorment per $M$ aleshores també ho està per tots els números majors a $M$ .

Com la classificació de successions monòtones, aquesta tampoc no pot ser presa com general ja que una successió no té perquè admetre cap cota.

Exemple

Considerem la successió $a_{n} = n$ , que està fitada inferiorment, per exemple, per $0$ però no admet cap fita superior ja que per a tot $M$ sempre podem trobar algun natural $n$ major.

Saber si una successió admet una fita superior o inferior tampoc és en general un problema senzill. Per tant, és encara més difícil trobar una cota, tot i saber que la successió està fitada.

En el cas de successions monòtones el primer terme ens serveix com a cota. Si tenim una successió creixent llavors el primer terme és una fita inferior de la successió. I si la successió és decreixent llavors el primer terme és una fita superior.

Una altra criteri per comprovar si una successió admet una cota és comprovar si tots els termes d'una successió són positius, o negatius, llavors la successió està fitada inferiorment per $0$ , o respectivament, està fitada superiorment per $0$ .

Càlcul a través de funcions

Quan una successió ve donada pel terme general, podem comprovar si una successió és monòtona o acotada a partir de la funció que defineix el terme general. En aquest cas, les propietats de la funció són també vàlides per a la successió. Més concretament:

Si la funció és monòtona per a valors majors a $1$ , llavors la successió també ho és. Fins i tot pot donar-se que la successió sigui estrictament monòtona encara que la funció no ho sigui.

Exemple

Per exemple considerem la successió $((n - \frac{3}{2})^{2})_{n \in N}$ . La funció $f (x) = (x - \frac{3}{2})^{2}$ no és creixent per a valors majors a $1$ , per exemple $f (1) = \frac{1}{4} > 0 = f (\frac{3}{2})$ Però podem comprovar que la successió ho és ja que $(n - \frac{3}{2})^{2} \leq (n - \frac{1}{2})^{2}$

Si la funció és fitada superiorment, o inferiorment, per a valors majors a 1 llavors la successió també és fitada superiorment, o inferiorment respectivament.

Aquests resultats permeten utilitzar els mètodes de càlcul diferencial per als nostres càlculs en les successions. Principalment és interessant el càlcul de la monotonia a partir de la derivada del terme general.

Com a últim comentari podem pensar si el recíproc dels resultats anteriors és cert. És a dir, ens preguntem si els resultats obtinguts per la successió són també vàlids per a la funció. La resposta a aquesta pregunta és negativa en general. Per exemple,

Exemple

Considerem la funció $f (x) = x \cdot \sin (2 π x)$ . Calculem la successió corresponent. Avaluem la funció en un enter $n$ ; $f (n) = n \cdot \sin (2 π n) = n \cdot \sin (2 π) = 0$ És a dir, defineix la funció constant. I aquesta és creixent, decreixent i fitada superior i inferiorment. Ara anem a veure que la funció no és cap de les anteriors. Avaluem la funció en els punts $n + \frac{1}{4}$ per $n$ natural $f (n + \frac{1}{4}) = (n + \frac{1}{4}) \cdot \sin (2 π n + \frac{2 π}{4}) = (n + \frac{1}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) = (n + \frac{1}{4})$

Veiem per tant que la funció no està fitada superiorment ja que $f (n + \frac{1}{4}) = n + \frac{1}{4}$ no pot estar acotat superiorment per a tot $n$ .

Avaluem ara la funció en els punts $n + \frac{3}{4}$ per $n$ natural; $f (n + \frac{3}{4}) = (n + \frac{3}{4}) \cdot \sin (2 π n + 2 π \frac{3}{4}) = (n + \frac{3}{4}) \cdot \sin (\frac{3 π}{2}) = - (n + \frac{3}{4})$

De la mateixa manera obtenim que la funció no està fitada inferiorment ja que $f (n + \frac{3}{4}) = - (n + \frac{3}{4})$ no pot estar acotat inferiorment per a tot $n \in N .$

A més, com els valors de $n + \frac{1}{4}$ i $n + \frac{3}{4}$ estan intercalats també resulta que la funció no pot ser monòtona ja que en els primers la funció és positiva i en els segons negativa.