Sucesiones acotadas

Sea $(a_{n})_{n \in N}$ una sucesión y $M$ un número real. Decimos que la sucesión está acotada superiormente por $M$ si todos los términos son menores a $M$ , es decir, si $a_{n} \leq M$ para todo $n$ .

Análogamente, decimos que la sucesión está acotada inferiormente por $M$ si todos los términos son mayores a $M$ , es decir, si $a_{n} \geq M$ para todo $n$ . Denominamos a $M$ como la cota superior, e inferior, de la sucesión, respectivamente.

Ejemplo

Consideramos la sucesión $a_{n} = \frac{1}{n}$ . Tenemos que $0 < \frac{1}{n} \leq 1$ para todo $n$ . Por tanto la sucesión está acotada superiormente por $1$ y inferiormente por $0$ . Observamos como la cota superior forma parte de la sucesión, $a_{1} = 1$ y por tanto es la mejor cota posible. Pero la cota inferior no pertenece al conjunto. Esto nos podría hacer pensar que no es la mejor cota posible. Veamos que no es así:

Supongamos que $M$ es la mejor cota inferior no nula. Como $M > 0$ podemos considerar un entero $n$ mayor a $\frac{1}{M}$ . Entonces $\frac{1}{n} < M$ lo que contradice nuestra hipótesis sobre $M$ .

De cualquier modo, en muchos casos es suficiente encontrar una cota aunque esta no sea la mejor posible. De hecho, si una sucesión está acotada superiormente por $M$ entonces también lo está por todos los números mayores a $M$ .

Como la clasificación de sucesiones monótonas, ésta tampoco puede ser tomada como general ya que una sucesión no tiene porque admitir ninguna cota. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Consideramos la sucesión $a_{n} = n$ , que está acotada inferiormente, por ejemplo, por $0$ pero no admite ninguna cota superior ya que para todo $M$ siempre podemos encontrar algún natural $n$ mayor.

Saber si una sucesión admite una cota superior o inferior tampoco es en general un problema sencillo. Por tanto, es aun más difícil encontrar una cota, aun sabiendo que la sucesión está acotada.

En el caso de sucesiones monótonas el primer término nos sirve como cota. Si tenemos una sucesión creciente entonces el primer término es una cota inferior de la sucesión. Y si la sucesión es decreciente entonces el primer término es una cota superior.

Otra criterio para comprobar si una sucesión admite una cota es comprobar si todos los términos de una sucesión son positivos, o negativos, entonces la sucesión está acotada inferiormente por $0$ , o respectivamente, está acotada superiormente por $0$ .

Cálculo a través de funciones

Cuando una sucesión viene dada por el término general, podemos comprobar si una sucesión es monótona o acotada a partir de la función que define el término general. En este caso, las propiedades de la función son también validos para la sucesión. Más concretamente:

Si la función es monótona para valores mayores a $1$ , entonces la sucesión también lo es. Incluso puede darse que la sucesión sea estrictamente monótona aunque la función no lo sea.

Ejemplo

Por ejemplo consideremos la sucesión $((n - \frac{3}{2})^{2})_{n \in N}$ . La función $f (x) = (x - \frac{3}{2})^{2}$ no es creciente para valores mayores a $1$ , por ejemplo $f (1) = \frac{1}{4} > 0 = f (\frac{3}{2})$ Pero podemos comprobar que la sucesión lo es ya que $(n - \frac{3}{2})^{2} \leq (n - \frac{1}{2})^{2}$

Si la función es acotada superiormente, o inferiormente, para valores mayores a $1$ entonces la sucesión también es acotada superiormente, o inferiormente respectivamente.

Estos resultados permiten utilizar los métodos del cálculo diferencial para nuestros cálculos en las sucesiones. Principalmente es interesante el cálculo de la monotonía a partir de la derivada del término general.

Como último comentario podemos pensar si el recíproco de los resultados anteriores es cierto. Es decir, nos preguntamos si los resultados obtenidos para la sucesión son también válidos para la función. La respuesta a esta pregunta es negativa en general. Por ejemplo,

Ejemplo

Consideramos la función $f (x) = x \cdot \sin (2 π x)$ . Calculamos la sucesión correspondiente. Evaluamos la función en un entero $n$ ; $f (n) = n \cdot \sin (2 π n) = n \cdot \sin (2 π) = 0$ Es decir, define la función constante. Y esta es creciente , decreciente y acotada superior e inferiormente.

Ahora vamos a ver que la función no es ninguna de las anteriores. Evaluamos la función en los puntos $n + \frac{1}{4}$ para $n$ natural $f (n + \frac{1}{4}) = (n + \frac{1}{4}) \cdot \sin (2 π n + \frac{2 π}{4}) = (n + \frac{1}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{2}) = (n + \frac{1}{4})$

Vemos por tanto que la función no está acotada superiormente ya que $f (n + \frac{1}{4}) = n + \frac{1}{4}$ no puede estar acotado superiormente para todo $n$ .

Evaluamos ahora la función en los puntos $n + \frac{3}{4}$ para $n$ natural; $f (n + \frac{3}{4}) = (n + \frac{3}{4}) \cdot \sin (2 π n + 2 π \frac{3}{4}) = (n + \frac{3}{4}) \cdot \sin (\frac{3 π}{2}) = - (n + \frac{3}{4})$

De la misma manera obtenemos que que la función no está acotada inferiormente ya que $f (n + \frac{3}{4}) = - (n + \frac{3}{4})$ no puede estar acotado inferiormente para todo $n \in N .$

Además, como los valores de $n + \frac{1}{4}$ y $n + \frac{3}{4}$ están intercalados también resulta que la función no puede ser monótona ya que en los primeros la función es positiva y en los segundos negativa.